06第六章误差理论的基本知识课案.ppt

§6－7广义算术平均值及权 一、广义算术平均值 如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为n次观测量的算术平均值： 在相同条件下对某段长度进行两组丈量： 全部同精度观测值的最或然值为： 令 若有不同精度观测值 当各观测值精度相同时 二 权 定权的基本公式： 权的特性 例：已知 水准路线的长分别为 当 例 对某角作三组同精度观测： 第一组测4测回，算术平均值为 §6－8单位权中误差的计算公式 由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权 与观测值个数成正比。 令 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用 来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差μ，然后根据 求出各观测值的中误差。 以推导计算单位权中误差的公式为 例 为了求得A、B两水准点间的高差，今自A点开始进行水准测量，经n站后测完。已知每站高差的中误差均为m站，求A、B两点间高差的中误差。 解：因为A、B两点间高差hAB等于各站的观测高差hi（i=l，2…n）之和， 即hAB=HB-HA=h1+h2+…..+hn 即，水准测量高差的中误差，与测站数n的平方根成正比。 在不同的水准路线上，即使两点间的路线长度相同，设站数不同时，则两点间高差的中误差也不同。但是，当水准路线通过平坦地区时，每公里的水准测量高差的中误差可以认为相同，设为mkm。当A、B两点间的水准路线为S公里时，A、B点间高差的中误差为 即，水准测量高差的中误差与距离S的平方根成正比。 例如，已知用某种仪器，按某种操作方法进行水准测量时，每公里高差的中误差为±20mm，则按这种水准测量进行了25km后，测得高差的中误差为 或 在水准测量作业时， 对于地形起伏不大的地区或平坦地区，可用 式计算高差的中误差； 对于起伏较大的地区，则用 式计算高差的中误差。 在一个观测量中，常常同时存在几个无函数关系的误差，如在水准测量中进行后视或前视读数时，有水准管气泡不精确居中所引起的视线不严格水平而产生的误差，有估读毫米值的估读误差等。这些误差在观测成果中是相加的关系，如上述两种误差对读数值的联合影响为 : 三、线性函救 设有线性函数： 则有 例 设有线性函救 观测量的中误差分别为， 求Z的中误差 四、一般函数 式中xi(i=1，2…n)为独立观测值，已知其中误差为mi(i=1 2…n)，求z的中误差。 当xi具有真误差Δ时，函数Z相应地产生真误差Δz。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。 式中 （i=l，2…n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为： 例 设有某函数z=S·sinα 式中S=150.11m，其中误差ms=士005m； α=119°45′00″，其中误差mα=20.6″；求z的中误差mz。 解：因为z=S·sinα，所以z是S及a的一般函数。 求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1）按问题的要求写出函数式： 2）对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式： 式中， 是用观测值代入求得的值。 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 例如，设有函数z=x＋y，而y=3x，此时， 。因为x与y不是独立观测值，因为不论n值多少，恒有 因此，应把Z化成独立观测值的函数，即z=x+3x=4x 上式中X与3X两项是由同一个观测值X组成的，必须先并项为z= 4x 而后求其中误差，即mz= 4mx §6-5算术平均值及其中误差 设在相同的观测条件下对未知量观测了n次，观测值为L1、L2……Ln，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或然值。 设未知量的真值为X，写出观测值的真误差公式为?i= Li-X (i=1,2…n) 将上式相加得 或 故 设以x表示上式右边第一项的观测值的算术平均值，即 以?X表示算术平均值的真误差，即 代入上式，则得 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，?X趋近于零，即 也就是说，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 现在来推导算术平均值的中误差公式。 因为 式中，1／n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为m。现以mx表示算术平均值的中误差，则可得算术平均值的中误差为 故 即算术平均值的中误差为观测值的中