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3 正投影原理 投影基本知识 点的投影 直线的投影 平面的投影 投影变换 3.1 投影基本知识 在制图中，把光源称为投影中心，光线称为投射线，光线的射向称为投射方向，落影的平面（如地面、墙面等）称为投影面，影子的轮廓称为投影，用投影表示物体的形状和大小的方法称为投影法，用投影法画出的物体图形称为投影图，如图3.1所示。 投影分中心投影和平行投影两大类。 由一点放射的投射线所产生的投影称为中心投影，如图3.2（a） ，由相互平行的投射线所产生的投影称为平行投影。 平行投射线倾斜于投影面的称为斜投影，如图3.2（b）；平行投射线垂直于投影面的称为正投影，如图3.2（c）。 用正投影法绘制出的图形称为正投影图，如图3.3所示。 3.1.2 工程中常用的四种图示法 图3.4是按中心投影法画出的透视投影图，只需一个投影面。 优点：图形逼真，直观性强。 缺点：作图复杂，形体的尺寸不能直接在图中度量，故不能作为施工依据，仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。 3.1.3 三面正投影图 图3.8中空间四个不同形状的物体，它们在同一个投影面上的正投影却是相同的。 通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成三投影面体系，如图3.9所示。 水平位置的平面称作水平投影面；与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为正立投影面；位于右侧与H、V面均垂直相交的平面称为侧立投影面。 (1) 投影对应规律 投影对应规律是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。 正面、平面长对正（等长）； 正面、侧面高平齐（等高）； 平面、侧面宽相等（等宽）。 3.2 点的投影 将空间点A置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线（即投射线），三个垂足就是点A在三个投影面上的投影。如图3.16。 用细实线将点的相邻投影连起来，如aa′、aa″称为投影连线。 水平投影a与侧面投影a″不能直接相连，作图时常以图3.16(c)所示的借助斜角线或圆弧来实现这个联系。 3.2.2 点的投影规律 点的正面投影a′和水平投影a的连线必垂直于X轴，即aa′⊥OX； 点的正面投影a′与侧面投影a″的连线必垂直于Z轴，即a′a″⊥OZ； 点的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OZ轴的距离，即aax=a″az； 点在任何投影面上的投影仍然是点 [例3.1]已知点A的两面投影a′、a，求作点A的侧面投影a″。 [解]根据点的投影规律，a″的求作方法如图3.17所示。 3.2.3 点的坐标 把三投影面体系看作空间直角坐标系，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z轴，投影面H、V、W相当于坐标平面，投影轴原点O相当于坐标系原点。 如图3.19（a）所示，空间一点到三投影面的距离，就是该点的三个坐标（用小写字母x、y、z表示）。 利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确定空间点的位置，如图3.19(b)。 [例3.2] 已知点A的坐标x=18,y=10,z=15，即A（18，10，15），求作点A的三面投影图。 [解] 作法见图3.20。 当点在某一投影面上时，它的坐标必有一个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上； 当点在某一投影轴上时，它的坐标必有两个为零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上，另一个投影则与坐标原点重合； 当点在坐标原点上时，它的三个坐标均为零。 3.2.4 两点的相对位置 空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定；反之，根据点的投影也可以判断出空间两点的相对位置。 在三面投影中，规定：OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正方向。 在投影图中，x坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置，y坐标可确定点的前后位置，z坐标可确定点的上下位置。 3.2.5 重影点及可见性 如果两点位于同一投射线上，则此两点在相应投影面上的投影必重叠，重叠的投影称为重影，重影的空间两点称为重影点。 3.2.6 点的辅助投影 为了解决某一问题，有目的地在某基本投影面上适当的地方设立一个与之垂直的投影面，借以辅助解题，这种投影面称为辅助投影面。辅助投影面上的投影，称为辅助投影。 点的辅助投影如图3.25和图3.26。 3.3 直线的投影 真实性：直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且反映实长，这种性质称为真实性，如图3.27（a）。 积聚性：直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这种性质称为积聚性，如图3.27（b）。 收缩性：直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性，如图3.27(c)。 3.3.2 直线的三面投影 首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影，然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投