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3 正投影原理 投影基本知识 点的投影 直线的投影 平面的投影 投影变换 3.1 投影基本知识 在制图中,把光源称为投影中心,光线称为投射线,光线的射向称为投射方向,落影的平面(如地面、墙面等)称为投影面,影子的轮廓称为投影,用投影表示物体的形状和大小的方法称为投影法,用投影法画出的物体图形称为投影图,如图3.1所示。 投影分中心投影和平行投影两大类。 由一点放射的投射线所产生的投影称为中心投影,如图3.2(a) ,由相互平行的投射线所产生的投影称为平行投影。 平行投射线倾斜于投影面的称为斜投影,如图3.2(b);平行投射线垂直于投影面的称为正投影,如图3.2(c)。 用正投影法绘制出的图形称为正投影图,如图3.3所示。 3.1.2 工程中常用的四种图示法 图3.4是按中心投影法画出的透视投影图,只需一个投影面。 优点:图形逼真,直观性强。 缺点:作图复杂,形体的尺寸不能直接在图中度量,故不能作为施工依据,仅用于建筑设计方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。 3.1.3 三面正投影图 图3.8中空间四个不同形状的物体,它们在同一个投影面上的正投影却是相同的。 通常,采用三个相互垂直的平面作为投影面,构成三投影面体系,如图3.9所示。 水平位置的平面称作水平投影面;与水平投影面垂直相交呈正立位置的平面称为正立投影面;位于右侧与H、V面均垂直相交的平面称为侧立投影面。 (1) 投影对应规律 投影对应规律是指各投影图之间在量度方向上的相互对应。 正面、平面长对正(等长); 正面、侧面高平齐(等高); 平面、侧面宽相等(等宽)。 3.2 点的投影 将空间点A置于三投影面体系中,自A点分别向三个投影面作垂线(即投射线),三个垂足就是点A在三个投影面上的投影。如图3.16。 用细实线将点的相邻投影连起来,如aa′、aa″称为投影连线。 水平投影a与侧面投影a″不能直接相连,作图时常以图3.16(c)所示的借助斜角线或圆弧来实现这个联系。 3.2.2 点的投影规律 点的正面投影a′和水平投影a的连线必垂直于X轴,即aa′⊥OX; 点的正面投影a′与侧面投影a″的连线必垂直于Z轴,即a′a″⊥OZ; 点的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OZ轴的距离,即aax=a″az; 点在任何投影面上的投影仍然是点 [例3.1]已知点A的两面投影a′、a,求作点A的侧面投影a″。 [解]根据点的投影规律,a″的求作方法如图3.17所示。 3.2.3 点的坐标 把三投影面体系看作空间直角坐标系,投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z轴,投影面H、V、W相当于坐标平面,投影轴原点O相当于坐标系原点。 如图3.19(a)所示,空间一点到三投影面的距离,就是该点的三个坐标(用小写字母x、y、z表示)。 利用点的坐标就能较容易地求作点的投影及确定空间点的位置,如图3.19(b)。 [例3.2] 已知点A的坐标x=18,y=10,z=15,即A(18,10,15),求作点A的三面投影图。 [解] 作法见图3.20。 当点在某一投影面上时,它的坐标必有一个为零,三个投影中必有两个投影位于投影轴上; 当点在某一投影轴上时,它的坐标必有两个为零,三个投影中必有两个投影位于投影轴上,另一个投影则与坐标原点重合; 当点在坐标原点上时,它的三个坐标均为零。 3.2.4 两点的相对位置 空间两点的相对位置可以用三面正投影图来标定;反之,根据点的投影也可以判断出空间两点的相对位置。 在三面投影中,规定:OX轴向左、OY轴向前、OZ轴向上为三条轴的正方向。 在投影图中,x坐标可确定点在三投影面体系中的左右位置,y坐标可确定点的前后位置,z坐标可确定点的上下位置。 3.2.5 重影点及可见性 如果两点位于同一投射线上,则此两点在相应投影面上的投影必重叠,重叠的投影称为重影,重影的空间两点称为重影点。 3.2.6 点的辅助投影 为了解决某一问题,有目的地在某基本投影面上适当的地方设立一个与之垂直的投影面,借以辅助解题,这种投影面称为辅助投影面。辅助投影面上的投影,称为辅助投影。 点的辅助投影如图3.25和图3.26。 3.3 直线的投影 真实性:直线平行于投影面时,其投影仍为直线,并且反映实长,这种性质称为真实性,如图3.27(a)。 积聚性:直线垂直于投影面时,其投影积聚为一点,这种性质称为积聚性,如图3.27(b)。 收缩性:直线倾斜于投影面时,其投影仍是直线,但长度缩短,不反映实长,这种性质称为收缩性,如图3.27(c)。 3.3.2 直线的三面投影 首先作出直线上两端点在三个投影面上的各个投影,然后分别连接这两个端点的同面投影即为该直线的投
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