高中数学2-3-2数学归纳法的应用.pptVIP

课堂讲练互动 课前探究学习 第2课时　数学归纳法的应用 【课标要求】 1．掌握数学归纳法的实质及归纳与猜想的关系． 2．能运用数学归纳法解决实际问题． 【核心扫描】 1．数学归纳法与函数、数列、不等式及几何问题相结合．(重点) 2．能通过“归纳—猜想—证明”解决一些数学问题．(难点) 自学导引 数学归纳法用框图表示就是： 想一想：数学归纳法的两个步骤有何关系？ 提示　使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据． 名师点睛 1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用． 2．归纳→猜想→证明 (1)归纳、猜想和证明是人们探索事物发展规律的常用方法，在数学中是我们分析问题、解决问题的一个重要的数学思想方法． (2)在归纳、猜想阶段体现的是一般与特殊的相互转化关系． (3)在数学归纳法证明阶段体现的是有限和无限的转化，是一种极限的思想． 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式． 证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除． ②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时， f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除， 而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除， 所以f(k＋1)能被36整除． 由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除． 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的． 【变式2】 用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除． 那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命题成立． 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明． 【题后反思】 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法．这类题型是高考的热点之一，它对培养创造性思维具有很好的训练作用． 以上证明过程中，第(2)步未用归纳假设，不用归纳假设的证法不是数学归纳法，故以上解法是错误的． 课堂讲练互动 课前探究学习