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第4章 非线性回归模型的线性化 (1)多项式函数模型 (2)双曲线函数模型 (3)对数函数模型 (4)生长曲线 (logistic) 模型 (比教材中的模型复杂些) (5)指数函数模型 (6)幂函数模型 file:li-4-1 file:5nonli7 file:5nonli3 file:case2 file:li-4-2 file:5nonli14 有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的,但可以通过适当的变换,转化为线性模型,然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。 以下非线性回归模型是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。估计过程非常复杂和困难,计算机的出现大大方便了非线性回归模型的估计。专用软件使这种计算变得非常容易。但本章不是介绍这类模型的估计。 下面介绍几种典型的可以做线性化处理的非线性模型。 第4章 非线性回归模型的线性化 (1)多项式函数模型(1) (第4版教材第90页) 多项式方程 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令xt 1 = xt,xt 2 = xt2,xt 3 = xt3,上式变为 yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 这是三元线性回归模型。经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。 ( b10, b20, b30) (b10, b20, b30) (1)多项式函数模型(1) 例4.1:总成本与产品产量的关系(课本91页, file:li-4-1) yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut (第4版教材第91页) 估计结果见下页 (1)多项式函数模型(1) 例4.1:总成本与产品产量的关系(课本92页, file:li-4-1) = 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6) R2 = 0.9998, N = 15 (第4版教材第92页) 案例1:厦门市贷款总额与GDP的关系分析 (1990~2003) 从散点图看,用多项式方程拟合比较合理。 Loant = ?0 +?1 GDPt + ?2 GDPt 2 + ?3 GDPt3 + ut = -24.5932 +1.6354 GDPt - 0.0026GDPt 2 + 0.0000027 GDPt 3 (-2.0) (11.3) (-6.3) (7.9) R2=0.9986, DW=2.6 案例1:厦门市贷款总额与GDP的关系分析 (1990~2003) (第4版教材第93页) (1)多项式方程模型(2) ( b10, b20) (b10, b2 0 另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令xt 1 = xt,x t 2 = xt 2,上式线性化为, yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。 注意:拟合时不要丢了b1 xt项。 (1)多项式方程模型(2) 例4.1:平均成本与产品产量的关系(课本93页, file:li-4-1 ) = 105.1- 0.06 xt + 0.00006 xt2 (42.5) (-8.7) (12.8) R2 = 0.97, N = 15 (第4版教材第93页) (2) 双曲线函数模型 (第4版教材第93页) 1/yt = a + b/xt + ut 或 yt = 1/ (a + b/xt + ut) 令yt* = 1/yt, xt* = 1/xt,得 yt* = a + b xt* + ut 已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式, yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt,得 yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型。 yt
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