高数 行列式.pptVIP

§2. 1 行列式 教学要求 知识点 行列式的定义、性质和计算; 克莱默法则 §2. 1 .1 行列式的定义 二阶行列式 二、三阶行列式 2、任意阶行列式的定义 n 阶行列式的定义 n 阶行列式定义不能解决计算问题! 克拉默法则 二、重要定理 * * 温州大学教育科学学院数学教研室 了解行列式的定义; 掌握行列式的性质; 能熟练掌握低阶数字行列式的值的求法; 掌握行列式的计算. 1. 二、三阶行列式 行列式是线性代数里最基本的概念之一，也是一个重要的工具. 在整个线性代数的理论及实际应用中都发挥了极重要作用. 用消元法解二元线性方程组 引入 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 分子则分别是用b1, b2代替a1i , a2i ( i=1, 2, 由x的下标而定 ). 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表——方阵 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 这里, 分母都为原方程组的系数行列式. 因此我们可知, 当系数行列式不等于零时, 二元一次方程组就有形式如上的唯一解. 上面这种求解二元一次方程组的方法, 被称之为克莱默法则 (可推广到n元线性方程组). 例1 解 定义 对于方阵 记 （6）式称为方阵（5）所确定的三阶行列式. (1)沙漏法 三阶行列式的计算 .列标 行标 (2)对角线法则 注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式． 如果三元线性方程组 的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组(克莱姆法则) 2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为 负. 则三元线性方程组的解为: 例２ 解 按对角线法则，有 例3 用克莱默法则解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 我们来探讨一下子三阶行列式与二阶行列式有什么联系? 二阶与三阶行列式的计算采用了对角线法则,三阶以上的行列式如果也这样算就很复杂了. 定义 定义一阶行列式为 |a| = a (注意与a的绝对值区别). 假定已经定义了n －1阶行列式, 现有n 阶矩阵 (简称为n阶行列式)记作detA, 表示一个数, 具体为: 则该矩阵的行列式 (M1j, A1j详细说明见下页) 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 上面定义中的M1j, A1j就是第1行各元素的余子式和代数余子式.定义式的右端称为行列式按第1行展开. ! 结论 一个 n 阶行列式，如果按第1行展开，那末这行列式等于第一行n个元素各与一个n－1阶行列式相乘; 如果这n个n－1阶行列式每一个又按第1行展开，应得到n ·(n－1)项, 这里每一个项都是原行列式中的两个元素与一个n－2阶行列式相乘,……, 这样下去, 最后就得到 n ·(n－1)· ……· 4 · 3 个二阶行列式, 而二阶行列式展开有两项, 因此一个 n 阶行列式的展开式共有n!项.每一项都是原行列式中的n个元素的乘积,它们来自于不同的行和不同的列.这是非常复杂的.因此除了照定义按第1行展开外,还需继续探索. 如果线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解 可以表为 证: (略) 定理1.3.4 -1 如果线性方程组(1)的系数行列式 D≠0, 则(1)一定有解,且解是唯一的 . 推论 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的 解，则它的系数行列式必为零.