高数下册 第七章 第八节 常系数线性齐次微分方程.pptVIP

第八节 二阶常系数齐次线性微分方程: 2. 当 3. 当 小结: 推广: 例1. 例3. 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) 2) 有阻尼自由振动情况 临界阻尼解的特征 : 例4. 例6. 例7. 内容小结 思考与练习 备用题1 备用题2 * 常系数 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为 特征方程: 实根 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 若特征方程含 k 重复根 若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项 则其通解中必含 对应项 特征方程: 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 解: 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 因此定解问题为 自由振动方程 , 方程: 特征方程: 特征根: 利用初始条件得: 故所求特解: 方程通解: 方程: 特征方程: 特征根: 小阻尼: n k 这时需分如下三种情况进行讨论: 大阻尼: n k 临界阻尼: n = k 解的特征 解的特征 解的特征 ( n = k ) 任意常数由初始条件定, 最多只与 t 轴交于一点; 即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置. 2) 无振荡现象 ; 的通解. 解: 特征方程 特征根: 因此原方程通解为 例5. 解: 特征方程: 特征根 : 原方程通解: (不难看出, 原方程有特解 解: 特征方程: 即 其根为 方程通解 : 解: 特征方程: 特征根为 则方程通解 : 特征根: (1) 当 时, 通解为 (2) 当 时, 通解为 (3) 当 时, 通解为 可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 . 求方程 的通解 . 答案: 通解为 通解为 通解为 为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程, 并求其通解 . 解: 根据给定的特解知特征方程有根 : 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 * *