高等数学11-4函数展开成幂级数.pptVIP

11.4 二、函数展开成幂级数 例6. 将 3. * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 问题 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 如果f(x)在x0的某邻域内具有任意阶连续导数 f(x)在x0的泰勒级数 f(x)在x0能展成泰勒级数，或说，f(x)能展成(x-x0)的幂级数 若在其收敛域上，f(x) 的泰勒级数收敛于f(x) 在x=0点任意可导, 可见， 一个函数的泰勒级数在什么条件下才收敛于自身? 证明 必要性 定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 ( f (x) =它的泰勒级数 f (x) 的泰勒公式中的余项趋于0) 充分性 证明 泰勒系数是唯一的, 逐项求导任意次,得 泰勒系数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 例2 解 例3 解 牛顿二项式展开式 注意: 双阶乘 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 例4 解 解 例5 利用此题可得 展成 解: 的幂级数. 例7 解 例8