高等数学方明亮版数学课件10.2 常数项级数的审敛法.pptVIP

第二节 常数项级数的审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 返回 上页 下页 目录 第十章 （Interrogate of constant term series） 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习 一、正项级数及其审敛法 若 定理 1 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 有界, 故 从而 又已知 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” (Interrogate of positive term series) 都有 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 定理2 (比较审敛法) (1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, 则有 (2) 若弱级数 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 l ∞ 时, 定理3 (比较审敛法的极限形式) 由定理 2 可知 同时收敛或同时发散 ; (3) 当l = ∞时, 即 由定理2可知, 若 发散 , (1) 当0 l ∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知 收敛 , 若 (常数 p 0) 的敛散性. 解: 1) 若 因为对一切 而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数 发散 . 发散 , 例3 讨论 p 级数 因为当 故 考虑强级数 的部分和 故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 2) 若 设 为正项级数, 且 则 (1) 当 (2) 当 证: (1) 收敛 , 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 由比较审敛法可知 定理4 比值审敛法 ( D’ Alembert 判别法) 因此 所以级数发散. 时 说明: 当 时,级数可能收敛也可能发散. 例如, p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 从而 (2) 当 ?对任意给定的正数 ? 设 为正项级 则 证明提示: 即 分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确. 数, 且 定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 时 , 级数可能收敛也可能发散 . 例如 , p – 级数 但 级数收敛 ; 级数发散 . 说明 : 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件: 则级数 收敛 , 且其和 其余项满足 (Interrogate of staggered series) 证: 是单调递增有界数列, 又 故级数收敛于S, 且 故 收敛 收敛 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 定义 对任意项级数 若 若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 收敛 , 数 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 绝对收敛 ； 则称原级 数 条件收敛 . (Absolute convergence and conditional convergence) 证: 设 根据比较审敛法 显然 收敛, 收敛 也收敛 且 收敛 , 令 定理7 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . 例11 证明下列级数绝对收敛 : （补充题） (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. （自学课本 例13、14） * * * * 返回 上页 下页 目录 ( L. P374, 5 )