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高等数学 第五节 一、微分的概念 定义: 若函数 定理 : 函数 定理 : 函数 说明: 微分的几何意义 例如, 二、 微分运算法则 例1. 例2. 设 数学中的反问题往往出现多值性 , 例如 三、 微分在近似计算中的应用 特别当 例4. 求 例5. 计算 例6. 有一批半径为1cm 的球 , 四、 微分在估计误差中的应用 误差传递公式 : 例7. 设测得圆钢截面的直径 内容小结 思考与练习 2. 5. 设 作业 备用题 2. * 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 四、微分在估计误差中的应用 一、微分的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的微分 第二章 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 面积的增量为 关于△x 的线性主部 高阶无穷小 时为 故 称为函数在 的微分 当 x 在 取 得增量 时, 变到 边长由 其 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的微分, 在点 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 而 称为 记作 即 定理: 函数 在点 可微的充要条件是 即 在点 可微, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 故 在点 的可导, 且 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 “充分性” 已知 即 在点 的可导, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 时 , 所以 时 很小时, 有近似公式 与 是等价无穷小, 当 故当 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 自变量的微分, 记作 记 机动 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数的微分公式 (见 P115表) 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 (C 为常数) 分别可微 , 的微分为 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有 例3. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立: 说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容. 注意 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 数学中的反问题往往出现多值性. 注意 目录 上页 下页 返回 结束 当 很小时, 使用原则: 得近似等式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 很小时, 常用近似公式: 很小) 证明: 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 . 解: 设 取 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的近似值 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为了提高球面的光洁度, 解: 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g ) 用铜多少克 . 估计一下, 每只球需 要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 某量的精确值为 A , 其近似值为 a , 称为a 的绝对误差 称为a 的相对误差 若 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知测量误差限为 按公式 计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为 若直接测量某量得 x , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 测量D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积 , 解: 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 试估计面积的误差 . 计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (mm) 1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导 可微 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 设函数 的图形如下, 试