齐次方程组.pptVIP

问题 齐次问题除零解外,还存在其他解? 在什么条件下,有非零解? 若存在非零解,如何求出全部的解? 推论2 * 在科学研究和生产实践中,许多实际问题往往涉及到解线性方程组。因此,对线性方程组的研究具有十分重要的意义,其本身也是线性代数的重要内容之一. 前面一章应用克莱姆法则解线性方程组时,所给线性方程组要满足两个条件:第一,方程的个数应该等于方程组中未知数的个数;第二,方程组的系数行列式不能等于零。但是,我们常常遇到的方程组中方程的个数不等于未知量的个数,有时还遇到方程组中方程的个数虽然与未知量的个数相等,但是其系数行列式等于零.在这些情况下,就不能用克莱姆法则直接求解.本章针对一般形式的线性方程组讨论以下三个问题(1)如何判别一个线性方程组是否有解;(2)解是否唯一;(3)如何求解. 线性方程组 知识点 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解 的充要条件 理解齐次线性方程组的解空间,基础解系及通解的概念,掌握基础解系 和通解的求法 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 掌握用矩阵的初等行变换求线性方程组通解的方法 齐次线性方程组 一、齐次线性方程组 称为齐次线性方程组。 系数 矩阵 方程组的 矩阵形式 二者等价 解 几个概念 解向量 两个方程同解 显然是方程组的解；称为零解或平凡解。 若非零向量 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 齐次线性方程组解的性质 性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即： 性质2： 所以 也是方程组的解向量。 证：因为 是方程组的解向量，故 证：由于 故 是方程组的解向量。 由上述性质知，若 都是方程组 的解向量， 为任意数，则 仍是方程组的解。称为通解 齐次线性方程组的全部解向量构成了一个向量空间，称为方程组的解空间，令 则V 是 的一个子空间, 同时也可称之为A的零子空间 从几何上看，这两个性质是清楚的.在n=3时,每个齐次方程表示一个过原点的平面.于是方程组的解，也就是这些平面的交点，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 定义：若齐次方程组的有限个解 满足： 则称 也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为： 齐次线性方程组基础解系的求法 1.行最简形矩阵： 如果线性方程组有非零解，则它一定有无穷多解，要求线性方程组的所有解，只需求出解空间的一个基即可 设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为： 显然： 行最简形 为： 真未知量 自由未知量 由自由未知量 惟一确定 从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于 n - r(A). 综上有： 必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。 推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为 对n元齐次线性方程组： 解题步骤： 有非零解 其系数矩阵为降秩矩阵. ① 写出系数矩阵并将其化为行最简形 I； ② 由 I 确定出 n–r 个自由未知量(可写出同解方程组); ④ 写出通解 ③ 令这 个n-r自由未知量分别为基本单位向量 可得相应的 n–r 个基础解系 例1：求方程组的通解 解： 同解方程组为 基础解系为 通解为 例2：求方程组的通解 同解方程组为 基础解系为： Ex: 在该题中，若取 基础解系为： 这说明基不惟一 例 设 是 的一个基础解系， ，求证： 线性无关 当然也可以用线性无关的判定定理 证 例 得证. * * * * *