数理经济学微分方程与差分方程.docVIP

微分方程与差分方程简介 本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。 §2.1 微分方程的基本概念 微分方程的定义及其阶 在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。为此，给出下列描述性的定义： 定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。 本章仅介绍常微分方程。在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。 微分方程的一般形式是 其中，是自变量，是的函数，是对的各阶导数。 微分方程的解、通解、特解和初始条件 若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）满足该微分方程，即将，，代入到微分方程，能使等式成为恒等式，则称这个函数是这个微分方程的解。 例 假设曲线在点处的切线斜率是。求满足这一条件的所有曲线。 解：根据导数的几何意义，有 这是一个一阶微分方程。两边同时积分，有 所以，该微分方程的解是 由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程的解是该微分方程的积分曲线。上例的积分曲线如图2.1所示。从图中可以看到，该微分方程有无穷多条积分曲线，并且，所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。一般来说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。 从上例可以看出微分方程有无穷多个解的原因。从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；阶微分方程就要进行次积分（当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算）。积分一次就会出现一个常数。因此，阶微分方程的一般解应含有个任意常数，故而微分方程有无穷多解。为此，我们给出下列定义： 定义 若一个阶微分方程的解含有个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。 这样，阶微分方程通解的一般形式是 在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。 例如，函数含有两个独立的任意常数。在函数中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为。因此，该函数只含有一个独立的任意常数。又如，等价于，所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。类似的，函数也只含有一个独立的任意常数。一般来说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。 在微分方程的通解中，若指定其中的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。例如，就是在上例中，令的特解。 在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。对于不同的条件，求对应特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。 对于一个阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在处，未知函数在该点的函数值以及直到阶的导数值。这种条件称为微分方程的初始条件，记为 其中，是已知常数。给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。 求解初值问题的常见方法是： 求出微分方程的通解； 求出通解的直到阶的导数； 代入初始条件，得到含有个常数的个方程；解这组方程，得到的一组指定值； 代入通解，得到满足初始条件的特解。 §2.2 几类常见微分方程的解法 可分离变量的微分方程 下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程 也就是说，若一阶微分方程可以按合并为两项，两个微分的系数都可以分解为两个因子的乘积，并且，每个因子要么只包含变量，要么只包含变量，则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。 在该微分方程的两边同时除以，可将它转化为下列形式： 这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。其特点是变量的微分的系数只与有关，变量的微分的系数只与有关。 这类微分方程可以通过直接积分得到其通解。事实上，在变量已分离的微分方程的两边同时积分，有 不难验证，由这个方程确定的隐函数是原微分方程的通解。 例： 求微分方程的通解。 解：该微分方程可以变形为 所以，原微分方程是一个可分离变量的微分方程。两边同时积分，得 其中，。于是，该微分方程的通解为 一阶线性微分方程 下列形式的微分方程称为一阶非齐次线性微分方程： 称微分方程 为对应的齐次线性微分方程。 下面分两步求出一阶非齐次线性微分方程的通解公式。 求对应齐次线性微分方程的通解； 在对应齐次线性微分方程的通解的基础上，用所谓的“常数变易法求出非齐次微分方程的通解。 齐次线性微分方程是可分离变量微分方程。分离变量，有 两边同时