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无穷级数 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：存在，称级数收敛。 2.若任意项级数收敛，发散，则称条件收敛，若收敛，则称级数绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。. 任何级数收敛的必要条件是 3.若有两个级数和， 则 ①，。 ②收敛，发散，则发散。 ③若二者都发散，则不确定，如发散，而收敛。 4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数： 等比级数： P级数： 对数级数： 5.三个重要结论①收敛存在②正项（不变号）级数收收，反之不成立，③和都收敛收，收 常用收敛快慢 正整数 由慢到快 连续型 由慢到快 7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧 达朗贝尔比值法 柯西根值法 比阶法 ① 代数式 ② 极限式 ，其中：和都是正项级数。 ， ，也可选用基准级数就可知原级 8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧 ● 莱布尼茨判交错级数（任意项级数的特例） ① ②收敛。这是一个必要条件，如果①不满足，则必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。 ● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。 ● 任意项级数判敛的两个重要技巧： 微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。 阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法， 9.幂级数 1．阿贝尔（Abel）定理 如果级数当点收敛，则级数在圆域内绝对收敛；如果级数当点发散，则级数在圆域外发散。由阿贝尔（Abel）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。如 推论：如果不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，使得： 10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 已知，若；则根据比值判敛法有： 收敛。 ●收敛半径：。 ●收敛区间：级数在收敛；幂级数的收敛区间是非空点集，对至少在处收敛，对至少在处收敛。由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。 ●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径上）收敛性待定，故收敛域是、、或四种情况之一。 3．在收敛区域内的性质 (1) 的和函数连续并有任意阶导数； (2) 可逐项微分 (3) 可逐项积分 (4) 绝对收敛。 11．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数 展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩， 5. 幂级数求和方法 ● 函数项级数求和方法 一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 ● 数项级数求和方法 构造辅助幂级数法。 付立叶级数 1．周期函数展开成付里叶级数 为在上周期为的周期函数，则 特别地，当时 当是偶函数 当是奇函数 2．非周期函数展开成付里叶级数方法 如果非周期函数只是定义在区间，两种区间可以令相互转换，为了利用付里叶级数展开，必须将拓展，其方式有两种，即： （1）偶拓展 令 ，使成为上的周期偶函数，展开后取上的函数值即为的付里叶展开。 （2）奇拓展 令 ，使成为上的周期奇函数，展开后取上的函数值即为的付里叶展开。 3．狄利克雷收敛定理 设函数在上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的付里叶级数收敛。并且： 复习 6