随机过程习题详解.doc

习题一 某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5，若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？ 设随机变量X的概率密度为 f（x）＝ 求：（1）常数A; (2)分布函数F（x）；（3）随机变量Y＝lnX的分布函数及概率分布。 设随机变量（X, Y）的概率密度为 f (x , y) = Asin (x + y ), 0x ,y 求：(1) 常数A ；（2）数学期望EX，EY； （3） 方差DX ，DY；(4) 协方差及相关系数。 4. 设随机变量服从指数分布 求特征函数,并求数学期望和方差。 设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1 和2的泊松分布，试用特征函数求Z = X＋Y 随机变量的概率分布。 6．一名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。 设 （X， Y） 的分布密度为 （1） （2） 问X，Y是否相互独立？ 8. 设（X，Y）的联合分布密度为 X Y —1 2 —1 0 1 0 问： （1）， 取何值时X，Y不相关； （2），取何值时相互独立。 习题二 １．设有两个随机变量X、Ｙ相互独立，它们的概率度分别为和，定义如下随机过程： ， 试求的均值函数和相关函数。 ２．从t=0开始每隔秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量 　X(t)= 试求：（1）F（；），F（）（2）F（，1；，）。 ３．袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量 试求这个随机过程的一维分布函数族。 ４．设在时间区间内来到某商店的顾客数X(t)是参数λ的泊松过程。为第n个顾客来到的时刻，求的分布函数。 5. 设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2，求2分钟内有多于一辆车通过的概率。 6.令表示时间内（单位：分）顾客到达某商店的人数，设是泊松过程。根据历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时30人。求两个顾客相继到达的时间间隔短于4分钟的概率。 7.一质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程 由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。求X（n）的概率分布及增量X（t+）—X（t）的概率分布。 8. 求随机过程的一维概率密度，其中为常数，~。 9.设复随机过程Z（t）=，0，其中（1）是相互独立且服从N (0，)的随机变量，(1是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。 10.设为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X(t)是个马氏过程。 11.设随机过程，，其中，是相互独立的标准正态分布变量，试证是一个正态过程。 12.设，，其中S、V、A为相互独立的正态分布变量，试证是一个正态过程。 习题三 一质点在区间[0,4]中的0,1,2,3,4上作随机游动,移动的规则是:在0点以概率1向右移动一个单位,在1,2,3点上各以概率1/3向左,向右移动一个单位或留在原处,试求转移概率矩阵. 一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率矩阵。