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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（文史类） 2015．4 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集，集合，则等于 A． B． C． D． （2）已知命题，，则 A．， B．, C．, D． ， （3）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为 A． B． C． D． （4）如图所示的程序框图表示的算法功能是 A．计算的值 B．计算的值 C．计算的值 D．计算的值 （5）已知，，满足，则 A． B． C． D． （6）函数图象的一条对称轴方程是 A． B. C. D. （7）已知实数，满足其中．若的最大值为5，则z的最小值为 A． B． C． D． （8）已知边长为3的正方形与正方形所在的平面互相垂直，为线段 上的动点（不含端点），过作交于，作交于，连结．设，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥的体积与变量变化关系的是 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）为虚数单位，计算= ． （10）已知平面向量，满足，与的夹角为，则 ． （11）圆与轴相交于两点，则 弦所对的圆心角的大小为 ． （12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ． （13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为： （1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为 元． （14）记为区间的长度．已知函数，()，其值域为，则区间的长度的最小值是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） 在中，，，． （Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求的面积． （16）（本小题满分13分） 某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）； （Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校 随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率． （17）（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点． （Ⅰ）求证：⊥平面； （Ⅱ）求证：直线∥平面； （Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由． （18）（本小题满分13分） 设数列的前项和为，且，，. （Ⅰ）写出，，的值；（Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）已知等差数列中，有， ，求数列的前项和． （19）（本小题满分14分） 已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为．过焦点的直线（斜率不为0）与椭圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点，直线交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当四边形为矩形时，求直线的方程． （20）（本小题满分13分） 已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求证：在上为增函数； （Ⅲ）若在区间上有且只有一个极值点，求的取值范围． 1 结束 是 Shi 否 输出