期末复习：圆的方程直线和圆的位置关系3.docVIP

期末复习：圆的方程、直线和圆的位置关系 教学目标 1、掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程。 2、掌握圆的一般方程及一般方程的特点；能用配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径;能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程。 3、理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并能用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系。会求圆的切线方程和弦长。 ［知识要点］ 一、圆的方程 1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 2. 求曲线方程的一般步骤为： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标； （2）写出适合条件P的点M的集合；（可以省略，直接列出曲线方程） （3）用坐标表示条件P（M），列出方程; （4）化方程为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（可以省略不写，如有特殊情况，可以适当予以说明。） 已知圆心为，半径为，如何求圆的方程？ 设M（x，y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r，所以圆C就是集合 P＝{M| |MC|＝r} 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为： 把上式两边平方得： （x－a）2＋ （y－b）2 ＝ r2 （一）圆的标准方程 这个方程叫做圆的标准方程。 说明： 1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。 2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了。 就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决。 （二）圆的一般方程 将圆的标准方程 展开可得。可见，任何一个圆的方程都可以写成 问题：形如的方程的曲线是不是圆？ 将方程左边配方得： （1） （1）当＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程 表示以为圆心，以为半径的圆。 （3）当＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形。 圆的一般方程的定义： 当＞0时，方程称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点： （1）和的系数相同，不等于零； （2）没有xy这样的二次项。 （三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法。 主要步骤： （1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 （3）作判断: 当dr时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当dr时，直线与圆相交。 代数方法。 主要步骤： （1）把直线方程与圆的方程联立成方程组 （2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程 （3）求出其Δ的值 比较Δ与0的大小： （4）当Δ0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ0时，直线与圆相交。 【典型例题】 例1： 求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点（5，2）和（3，－2）的圆的方程。 解：设圆方程为（x－a）2＋（y－b）2 ＝r2 依题意得 解之得a＝2，b＝1，r2＝10， ∴所求的圆方程为 （x－2）2 ＋（y－1）2 ＝10 例2：下列方程表示什么图形？ （1）x2 ＋ y2 ＋ 5x ( 3y ＋ 1 ＝ 0 （2）x2 ＋ y2 ＋ 4x ＋ 4 ＝ 0 （3）x2 ＋ y2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0 （4）x2 ＋ y2＋2by＝0 解：（1）表示以为圆心，以为半径的一个圆 （2）表示一个点（ (2，0 ） （3）不表示任何图形 （4）圆心为（0，－b），半径为|b|，注意半径不为b. 例3：求过三点O（0，0），M（1，1），N（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。 解：设圆的方程为：x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程 ( F ＝ 0， D ＝ (8， E ＝ 6 ( 圆方程为：x2 ＋ y2 (8x ＋ 6y ＝ 0 配方：（ x (4 ）2 ＋ （ y ＋ 3 ）2 ＝ 25 (圆心：（ 4， (3 ）， 半径r ＝ 5 例4：已知圆的方程是x2 ＋ y2 ＝ 2， 直线y ＝ x ＋ b， 当b为何值时，圆与直线有两个交点、一个交点、没有交点？ 解：由方程组( 2x2 ＋ 2by ＋ b2 (2 ＝ 0 △＝ (4（ b ＋ 2 ）（ b (2 ） ∴ 当△0时， 即(2 b 2， 有两交点 当△＝0时， 即b ＝ (2， 有一个交点 当△0时， 即b 2或b (2， 没有交点. 例5：已知圆的方程是x2 ＋