李永乐线性代数冲刺笔记(打印版).docVIP

线性代数冲刺笔记 【例题1】B＝，A2－2AB ＝ E，r(AB－2BA＋3A) ＝（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）与a有关 【解】 ∵ A(A－2B) ＝ E ∴ A可逆，且A－1 ＝ A－2B A(A－2B) ＝ (A－2B) A (A A－1＝ A－1 A) AB ＝ BA 那么，AB－2BA＋3A ＝ 3A－AB ＝ A(3E－B) 又，A可逆，知 r(AB－2BA＋3A) ＝ r(A(3E－B)) ＝ r(3E－B) a有|3E－B|＝0，又3E－B有二阶子式不得零，从而r(3E－B) ＝ 2. 【例题2】Am×n，η1，η2，…，ηt是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b的一个解. (I)证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关. (II)证明Ax ＝ b的任意一个解都可以由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性表出. 【分析】η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关，从而证明α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关可以用定义法。 【证】(I)（用定义，重组，同乘） 设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0 (1) 即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0 (2) 由Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用A左乘（2），有 (k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0 即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0 又b≠0，有k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0 (3) 带入(2)有 k1η1＋k2η2＋…＋ktηt＝0， 而η1，η2，…，ηt是Ax＝0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt必定线性无关， 从而k1 ＝k2 ＝…＝kt＝0，带入(3)有k0＝0. 所以 k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关. （或用秩） ∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解α不能由η1，η2，…，ηt线性表出. x1η1＋x2η2＋…＋xtηt ＝α无解r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α) ∵r(η1，η2，…，ηt) ＝tr(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1 r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关. (II)设β是Ax＝b的任意一个解，则β－α是Ax＝0的解. 从而 β－α＝l1η1＋l2η2＋…＋ltηt . β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt 即β可由α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt表出. 【例题3】Am×n，r(A)＝n，α1，α2，…，αs是n维列向量. 证明：α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关. 【证】必要性（用定义） 设k1Aα1＋k2Aα2＋…＋ks Aαs＝0，即A(k1α1＋k2α2＋… ＋ks αs)＝0. 由Am×n，r(A)＝nAx＝0只有零解. 故k1α1＋k2α2＋…＋ks αs＝0，又α1，α2，…，αs线性无关k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0. 从而Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关. 充分性（用秩） 因为Aα1，Aα2，…，Aαs＝A(α1，α2，…，αs)，所以 r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝r(A(α1，α2，…，αs))≤r(α1，α2，…，αs) 由Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关知r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＝s. 而r(α1，α2，…，αs)≤s，从而r(α1，α2，…，αs)＝s α1，α2，…，αs线性无关. 【例题4】设A＝[α1，α2，α3，α4]，Ax＝β的通解是[1，－2，1，－1] T＋k[1，3，2，0]T，B＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3， (I) α1能否由α2，α3线性表出？ (II) α4能否由α1，α2，α3线性表出？ (III) Bx＝γ求的通解. 【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【证】(I) Ax＝β解的结构知r(A)＝3. 由A＝0 α1＋3α2＋2α3＝0α1能由α2，α3线性表出. (II) 设x1α1＋x2α2＋x3α3 ＝α4 由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性