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组合计数与概率 主讲：李 生 1、组合计数 计数原理 【分类计数原理】 设A为完成一件事情的所有方法的集合，它可以划分为n个互不相交的非空子集A1，A2，…，An，|Ai|=mi(i=1,2,…,n)，那么完成这件事情的总方法数为：N=|A|=m1+m2+…+mn； 【分步计数原理】 设A为完成一件事情的所有方法的集合，且完成这件事情需要几个步骤，实现第i(i=1,2,…,n)个步骤的方法的集合为Ai，|Ai|=mi,那么完成这件事情的总方法数为N=|A|=m1×m2×…×mn； 例1.（2011山西赛区预赛）在集合中，末位数字为1的元素个数为 ． 例2． 在由n2个小方格组成的正方形中，有多少个由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形？ 例3．设整数a,b,c为三角形三边，a+b=n∈N，1≤c≤n-1，求这样的整边三角形的个数． 常见计数公式 相异元素的排列与组合 【排列】：从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出m个元素的一个排列．从n个不同元素中取m个不同元素的排列的个数称为排列数，记为，则有，其中，并规定． 【组合】：从n个不同元素中取m（m≤n）个不同元素，并成一组，叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取m个不同元素的组合的个数称为组合数，记为，则有 ． 例4．（2011吉林赛区预赛）现有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在三棱柱各顶点上装一个灯泡，要求同一条棱两端点的灯泡颜色不同，且每种颜色的灯泡都至少有一个的安装方法共有 种． 2．圆排列 【定义】 从n元集中任取r个不同元素，仅按元素之间的相对位置而不分首尾排成一个圆圈，这种排列称为n个不同元素的r-圆排列，其排列数记为． 圆排列的特点有两个：①无头无尾；②按同一方向转换后仍是同一个排列． 例5．（2006江苏高考）右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率为 ． 例6．（全国联赛题）8个女孩和25个男孩围成一圈．（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的） （1）女孩不相邻，有多少种排法？（2）任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少种不同的排列方法． 3．重复排列 【定义】从n个不同元素中允许重复地任取r个元素排成一列，称为n个不同元素的r-可重排列． 4．不全相异元素的全排列 【定义】 设n个元素可分为k组，每一组中的元素是相同的，不同组间的元素是不同的，其中第i组的元素个数为，，则这n个元素的全排列称为不全相异元素的全排列．不难证明，n个元素的不全相异元素的全排列个数为． 例7．（2006江苏高考）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有　▲　种不同的方法（用数字作答）． 例8．一段楼梯共有12级台阶，某人上楼时，有时一步迈一台阶，有时一步迈两台阶，问此人共有多少种上楼的方法？ 5．多组组合 【定义】 将n个不同的元素分成有编号的k个组称为n个不同元素的一个k-组合．若第i组有个元素，（），则不同的分组方法数为． 例9．把n个不同的球，分别装入m个盒子中，使其中个盒子中每个都有个球，个盒子中每个都有个球，…，个盒子中每个都有个球，这里，，求下列情况下，各有多少种不同放法：（1）盒子均不相同；（2）装有相同数目的球的盒子相同． 6．重复组合 【定义】 从n个不同的元素中允许重复地任取r个元素的组合称为n个不同元素的r—可重组合． 不难证明，n个不同元素的r—可重组合的个数为． 【定理】 不定方程的非负整数解的个数为． 【推论】 不定方程的正整数解的个数为． 例10．（2011天津）将展开之后再合并同类项，所得多项式的项数是多少？ 例11．（2002全国）已知两个实数集与．若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原像，且，则这样的映射共有 （ ） （A） （B） （C） （D） 组合计数问题的常用方法 1．“算两次”原理： 设是两个有限集合，将所有形如的有序对构成的集合称为A与B的笛卡尔乘积，并用记号表示．对任意，设，对任意，设，于是，这个等式叫做富比尼（Fubini）原理，又称算两次原理． 例12．一张正方形纸片内有1000个点，这些点及正方形的顶点中任意3点不共线，然后在这些点及正方形顶点之间连一些线段，将正方形全部分成小三角形（以所连线段及正方形的边为边，且所连线段除端点外，两两无公共点），问一共连有多