6.微分方程课案.ppt

第6章 常微分方程数值解法; 着重考察的一阶方程的初值问题 ; 所谓数值解法，就是寻求解 在一系列离散节点 ; 一类是计算 时只用到前一点的值 ，称为单步 法. 另一类是用到 前面 点的值 ， 称为 步法（多步法）. ; 2 简单的数值方法与基本概念 ;一条折线 （图1).;即 ; 解 欧拉公式的具体形式为 ; 初值问题（2.2）有解 ，按这个解析式子 算出的准确值 同近似值 一起列在表1中，两者 相比较可以看出欧拉方法的精度很差. ; 为了分析计算公式的精度，通常可用泰勒展开将 在 处展开，则有 ; 2.2 梯形方法 ;（2.6）; 2.3 单步法的局部截断误差与阶 ; 对一般显式单步法则可如下定义. ; 根据定义，显然欧拉法的局部截断误差 ; 定义2 设 是初值问题(1.1)，(1.2)的准确解，若 存在最大整数 使显式单步法(2.10)的局部截断误差满足 ; 对梯形法（2.5）有 ;2.4 改进的欧拉公式 ;预测; 例2 用改进的欧拉方法求解初值问题（2.2）. ;21; 3 龙格-库塔方法 ;此时增量函数 ;精度提高，必然要增加求积节点，为此可将（3.3）的右端 用求积公式表示为;这里 均为常数. ; 3.2 二阶显式R-K方法 ;这里 . ;将以上结果代入（3.7）则有 ;（3.9）;若取 ，则 . 得计算公 式 ; 的R-K公式(3.6)的局部误差不可能提高到 . ; 3.3 三阶与四阶显式R-K方法 ;得待定参数满足方程 ;满足条件（3.12）的公式（3.11）统称为三阶R-K公式. ; 四阶龙格-库塔方法的每一步需要计算四次函数值 ， 可以证明其截断误差为 . ; 例3 设取步长 ，从 直到 用四阶龙格 -库塔方法求解初值问题 ;37; 比较例3和例2的计算结果， 显然以龙格-库塔方法的精度为 高. ; 3.4 变步长的龙格-库塔方法 ; 从节点 出发，先以 为步长求出一个近似值，记为 ，由于公式的局部截断误差为 ，故有 ;差大约减少到 ，即有;来判定所选的步长是否合适，具体地说:; 5 线性多步法 ; 5.1 线性多步法的一般公式; 如果 ，称（5.1）为显式 步法，这时 可直接由（5.1）算出；如果 ，则（5.1）称为隐 式 步法，求解时与梯形法（2.7）相同，要用迭代法方 可算出 . ; 由定义7，对 在 处做泰勒展开，由于 ;其中 ;由定义可知此时所构造的多步法是 阶精度的，且 ; 当 时，若 ，则由（5.6）可求得 ; 对 , 若 ，此时方法为隐式公式，为了确 定系数 ，可由 解得 ; 5.2 阿当姆斯显式与隐式公式 ;与（5.1） ; 若 ，则显式方法可由前三个方程解得;截断误差是; 用类似的方法可求得阿当姆斯显式方法和隐式方法的 公式， 表 5 及表6 分别列出了 时的阿当姆斯 显式公式与阿当姆斯隐式公式，其中 为步数， 为方法 的阶， 为误差常数. ;56; 例6 用四阶阿当姆斯显式和隐式方法解初值问题 ;由此可直接解出 而不用迭代，得到 ;; 从以上例子看到同阶的阿当姆斯方法，隐式方法要比 显式方法误差小，这可以从两种方法的局部截断误差主项 的系数大小得到解释，这里 分别 为 及 . ; 5.3 预测-校正方法 ;预测P： ;两式相减得 ;（5.17）;校正C： ; 6 一阶微分方程组和高阶方程 ;则上述方程组的初值问题可表示为 ;或表示为 ;这里 是第 个因变量 在节点 的近似值. ;这时四阶龙格-库塔公式具有形式 ;（6.3）; 6.2