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案例37　黄金分割 　【课　题】 义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）八年级下册第二章第2节 一、教材分析： 1. 古希腊人称“黄金分割”为中外比，后来意大利著名画家达·芬奇又称之为“黄金分割”。黄金分割在生产和现实生活中有着广泛应用，我国著名数学家华罗庚教授推广的“优选法”其核心就是“黄金比”。 2. 黄金分割的广泛应用对学生而言是现实的，用数学的眼光审视和读懂有关黄金分割的许多精品以及生活中有关“黄金分割”的事物的玄妙之处又是十分有趣的。学会应用“黄金分割”判断或解决一些事情极具挑战性。 3. 在教学过程中教师组织学生合作、交流，通过师生互动，首先认识黄金分割及其数学特征，建构起学生自我的“黄金分割”意义。通过名品欣赏培养学生的审美意识，通过例举、鉴别、验证加深巩固对黄金分割的理解。通过探讨、动手操作发展应用能力、创新精神，积累数学活动经验。 二、教学目标： 1. 在丰富的现实情境中认识黄金分割的意义，通过独立运算发现黄金分割的数学特征。 2. 通过名品欣赏，发展学生的审美意识。通过发现生活中的“黄金分割”，培养数学思考的自觉意识。 3. 探讨黄金分割点的多种画法，并在黄金分割的应用中发展创新精神。 三、教学重点： 通过运算、验证、欣赏，较深刻地认识黄金分割。 四、教学难点： 用多种方法黄金分割已知线段。 五、教学方法： 师生互动，独立运算、欣赏，合作交流。 六、教具及教学手段： 电脑、投影、多媒体演示。 七、学法指导： 引导发现、验证、欣赏、动手操作。 八、教学过程： 教师：中国国旗上有五个五角星（投影打出中国国旗） 同学们知道五角星中有什么玄妙之处吗？ 张晶晶：五角星的五个顶点好像在同一个圆上。 李旭：五角星是由五个三角形和一个五边形组成的。 余正阳：五角星的五个三角形都是等腰三角形。 教师：三位同学说得都很好。 许志章：五个三角形全等。 王灿：五角星是轴对称图形。 教师：非常好，还有吗？（沉默） 如果没有了老师补充： （1）同学们说的五个全等三角形都是“黄金三角形”。 （2）内顶点F“黄金分割”线段AC和线段BE。 （屏幕出现课题——黄金分割） 张溪：什么叫“黄金分割”？ 教师：问得好！ （屏幕出现线段AB）如果把线段AB看做观众视线中的舞台，请大家回顾报幕员通常站在什么位置？ 安宁：站在正中间。 刘婷婷：好像站在边上。 教师：请大家仔细回忆一下站在什么位置的更多一些？ 多位同学：站在中间偏一点的位置的较多。 教师：非常好，那么大家知道为什么他们要站在这个位置吗？ 李娜：我觉得这样比较顺眼。 教师：很好，因为他们是站在黄金分割点附近的。 （屏幕中从上方飞入一个点落在线段AB上） （接着出现：如果 ，那么点C黄金分割线段AB。） 教师：请大家议论一下：你怎样理解“黄金分割”？ （2分钟左右）李昊：一条线段被一个点分成一长一短两个线段，如果较长线段与整个线段的比等于较短的线段与较长线段的比，那么这个点黄金分割这条线段。 教师：棒，大家知道条件 是什么代数形式？ 李月：比例式。 教师：大家把它化为等积式如何？ 多人：AC2＝BC·AB 教师：大家再定义一下“黄金分割”。 多人：如果AC2＝BC·AB，那么点C黄金分割线段AB。 教师：把符号换为文字怎样？ 李建波：一条线段被一个点分成一长一短两个线段，如果较长的线段是较短的线段和整个线段的比例中项，那么这个点黄金分割这线段。 教师：我们能把条件设法变为比值吗？也就是线段AC是线段AB的几分之几？ （提示：假设x，线段AB为单位线段1，较长的线段AC为x） 李建波：设AB＝1，AC＝x，则BC＝1-x，由AC2＝BC·AB得 x2＝（1-x）·1，即x2＋x－1＝0 教师：同学们现在还不会解这个方程，我可以告诉同学们这个方程的解是 大家用计算器算一下 多人： 教师：大家议一议，你现在如何较全面地认识黄金分割？ 教师随意指一位学生：在上面图形中如果满足上述成比例式或等积式或 都可以说点C黄金分割线段AB。 教师：在一条线段上你发现了几个黄金分割点？ 多人：两个，左右各一个（教师补充：而且这两点关于中点或中垂线对称）。 教师：大家试算一下BC∶AC的值，你会发现什么？同学们可以按李建波同学的方法，设AB＝1，AC＝x，则BC＝1-x，并注意到 多名同学：BC∶AC约等于0.618，用BC截AC又可以得到AC的黄金分割点。 教师：现在大家对“黄金分割”有了比较深刻的认识，请大家拿出作图工具我们一起做一做。 （按课本方法步骤作图） 教师：大家讨论你作的点C黄金分割线段AB吗？ 李昊：是的，我设BD＝1，则AB＝2，由勾股定理得AD＝ 推出AE＝ ， ，所以 。因此点C黄金分割线段AB。 教师：如图，设AB是已知线段，以AB为边作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB