概率统计习题解.docVIP

习 题 二 1. 设与分别是随机变量X与Y的分布函数,为使是某个随机变量的分布函数, 则的值可取为( A ). A. B. C. D. 2. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数的分布律. 解：因为随机变量＝{这4个产品中的次品数} 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且； ； ； ； . 因此所求的分布律为： X 0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010 3． 如果服从0-1分布, 又知取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出的分布律和分布函数. 解：设，则. 由已知，，所以 的分布律为： X 0 1 P 1/3 2/3 当时，； 当时，； 当时，. 的分布函数为： . 4. 一批零件中有7个合格品，3个不合格品，安装配件时，从这批零件中任取一个，若取出不合格品不再放回，而再取一个零件，直到取得合格品为止，求在取出合格品以前，已取出不合格品数的概率分布. 解：设X={在取出合格品以前，已取出不合格品数}. 则X的所有可能的取值为0，1，2，3. ； ； ； . 所以X的概率分布为： X 0 1 2 3 P 7/10 7/30 7/120 1/120 从一副扑克牌（52张）中发出5张，求其中黑桃张数的概率分布. 解：设X＝{其中黑桃张数}. 则X的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. ； ； ； ； ； . 所以X的概率分布为： X 0 1 2 3 4 5 P 0.2215 0.4114 0.2743 0.0815 0.0107 0.0005 6. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训，据以前的培训情况，估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求： 恰有6个人不能完成培训的概率； 不多于4个的概率. 解：设X＝{不能完成培训的人数}.则， （1）; （2）. 7. 一批产品的接收者称为使用方，使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p接受一批产品的概率. 假设你是使用方，允许次品率不超过，你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验，若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少？（假设这批产品实际次品率为0. 06）. 解：设X＝{100个产品中的次品数}，则， 所求概率为. 8. 甲、乙两人各有赌本30元和20元，以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面，则甲赢10元，乙输10元；如果出现反面，则甲输10元，乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数. 解：设＝{投掷一次后甲的赌本}，＝{投掷一次后乙的赌本}. 则的取值为40，20，且 ，， 所以与的分布律分别为： 40 20 10 30 1/2 1/2 1/2 1/2 9. 设离散型随机变量的概率分布为：（1）； （2），分别求（1）、（2）中常数的值. 解：（1）因为 即，所以. 因为 即，所以. 10. 已知一电话交换台服从的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次传唤的概率；（2）每分钟传唤次数大于8次的概率. 解：设X＝{每分钟接到的传唤次数}，则，查泊松分布表得 （1）； （2）. 11. 一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1、2、3、4、5，从中任取3个，以示3个球中最小号码，写出的概率分布. 解：的所有可能的取值为1，2，3. ； ； . 所以X的概率分布为： X 1 2 3 P 6/10 3/10 1/10 12. 设随机变量的密度函数为， 且，试求常数和. 解：； ， 由得， 13. 已知随机变量的概率分布如下， -1 0 1 2 0. 2 0. 25 0. 30 0. 25 求及的概率分布. 解：的所有可能的取值为4，1，-2，-5. 且； ； ； . 所以的分布律为 -5 -2 1 4 0.25 0.3 0.25 0.2 的所有可能的取值为1，2，5 且； ； . 所以的分布律为 1 2 5 0.25 0.5 0.25 14. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B, 求常数A, B; 以及概率密度f(x). 解：由得. 所以； ； . 15. 设连续型随机变量的分布函数为 求：（1）常数的值；（2）的概率密度函数；（3）.