概率论版龙永红概率辅导.docVIP

2随机变量及其分布 2．1基本要求 随机变量的引入在概率论发展史中意义十分重大，这一概念的引入使得试验结果数量化了。因此，随机变量与它的分布是概率统计讨论的核心内容。 1．理解随机变量及其概率分布的概念。 2．理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。 3．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，侧重把握它的分布律（列）及其性质，其中，从实际问题出发建立分布律是学习中的难点。在众多的离散型分布中，重点是掌握两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布及其应用。 4．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。 5．理解连续型随机变量的概念，重点是把握它的概率密度及其性质，并能深入掌握均匀分布、指数分布、正态分布与它们的特征，会用这些分布解决一些简单的问题。 6．熟练掌握分布函数与分布律、概率密度的互求，这既是难点也是应用中的重点。 7．会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。 2．2内容提要 2．2．1．随机变量与它的分布函数 1．随机变量的概念 随机变量(是定义在样本空间(上的实值集函数，它具有取值的不确定性(随机性)和取值范围及相应概率的确定性(统计规律性)两大特征。特别是后一特征表明，对于任意实数x，事件{(≤x}都有确定的概率。 常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类。 2．分布函数与它的基本性质 对于随机变量( 以及任意实数x，称一元函数 F(x)=P{(≤x }为(的分布函数。 由此可见，分布函数是定义域为、值域为[0，1]的实函数。其基本性质是： (1) ，对一切成立； (2)F(x)是一个单调不减函数，即当时，有 ； (3)F(x)是右连续的，即F(x +0)=F(x)； (4)。 反之，具有这四条性质的函数一定是某个随机变量的分布函数。 若F(x)为随机变量(的分布函数，则对于任意的a，b(ab)，有 。 这样，( 落入任一区间的概率都可用分布函数来表达。从这个意义上讲，分布函数完整地描述了各类随机变量取值的统计规律。 2．2．2．离散型随机变量及其分布 1．分布律与它的基本性质 若随机变量(的取值只能是有限个值或可列个值，则称(为离散型随机变量。 对离散型随机变量需要知道它取哪些值及其取值的概率。所有这些将由分布律来描述，随机变量(的分布律可表示为 r．v．( ~ 分布律也可表示为 x1 x2 … xi … p1 p2 … pi … 分布律具有以下基本性质： (1) (非负性)； (2) (规范性)。 2．常用的离散型分布 常用的离散型分布有两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布。 （1）两点分布 若随机变量有分布律 ，。 则称服从两点分布。特别地，如果只取0，1两个值时也称为0-1分布，其分布律为 。 （2）二项分布 若随机变量分布律为 其中为自然数，则称服从参数为n，p的二项分布。简记为r.v.～B(n , p)。 注：若服从参数为p的0-1分布，则就服从参数为n,p的二项分布。在解题中常用此方法分解随机变量。 （3）超几何分布 若随机变量有分布律 这里M≤N，n≤N，n，N，M为自然数，并规定ba时，。则称服从以n，N，M为参数的超几何分布。简记为。 注：若n 是一取定的自然数，且，则有 。 即当N充分大时，随机变量就近似服从二项分布B(n,p)。 （4）泊松分布 若随机变量有分布律 为常数 则称服从参数为的泊松分布，简记为。 注：泊松分布的背景是与泊松定理分不开的，即 设0是一常数，n 是任意正整数，设，则对于任一固定的非负整数k，有 。 故当n很大，p很小时(np10)的二项分布可用下式近似计算： 由此发现，在大量试验中稀有事件出现的次数常可用泊松分布来描述。 3．分布律与分布函数的计算 （1）分布律已知时分布函数的求解 当分布律给定时，运用逐段求和可求得分布函数，即 。可见，离散型场合下的分布函数是一个右连续的分段阶梯函数，在处有跳跃。 （2）分布函数已知时分布律的求解 当分布函数已知时，通过逐段求差可求得分布律。随机变量的取值即为分布函数的间断点，而取值的概率由下式给出： 综上所述，离散型随机变量的分布律和分布函数可以相互唯一确定。 2．2．3．连续型随机变量及其概率密度 1．概率密度与它的基本性质 设对于随机变量(的分布函数F(x)，如果存在非负可积函数f(x)， 使得对任意的实数x，都有 成立,则称(为连续型随机变量，f(x)便是(的概率密度（或分布密度）。 概率密度具有如下基本性质： (1)