概率论的练习.docVIP

1．（1）设随机变量X的分布律为 为常数，试确定常数a． （2）设随机变量X的分布律为 ．试确定常数a． 解：（1）； 　（2）． 2．若在每次试验中，X总是取常数C，那么X是否可以作为随机变量？ 解：可以将X看作是服从二点分布的随机变量，其概率分布与分布函数分别为： ． 3．设随机变量X的分布为 求 (1) 常数a；( 2) ． 解：(1)随机变量X的概率分布为，所以有； 　 (2) ＝． 二项分布 1．某产品的一等品率为0.2，若从总产品中随机取30件，求取到的一等品数的分布律． 解：设表示取到的一等品数，则可能取值0,1,2,…,30，本题可看作独立抽取30次，一次抽取一件，抽得一等品的概率为0.2，于是X服从二项分布，其概率分布为： =0,1,2,…,30． 2．一位射手命中目标的概率为0.6，在相同条件下进行5次射击，求击中目标次数X的分布律． 解: 独立进行5次射击，命中目标的概率为0.6，故X服从二项分布，其概率分布为： =0,1,2,3,4,5． 3．某一大楼有5个同类型供水设备，以往资料表明，在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求； （1）在同一时刻被使用的设备数X的分布律； （2）恰有2个设备被使用的概率； （3）至少有3个设备被使用的概率； （4）至多有3个设备被使用的概率； （5）至少有1个设备被使用的概率． 解：(1)X服从二项分布， 故有=0,1,2,3,4,5； 　　(2) ； 　　(3) ； 　　(4) ； 　(5) ． 超几何分布 1．100件产品中5件为次品，从中任取20件，求取到的次品数X的概率分布． 解：本题X服从超几何分布，其概率分布为： =0,1,2,3,4,5． 2．从一副52张的扑克中任取15张，求其中“红桃”的张数X的概率分布． 解：X服从超几何分布，其概率分布为：=0,1,2,…,13． 泊松分布： 1、某交通道口每天有大量的车辆通过，设在一天的某时间段内发生交通事故的概率为0.0001，若某天在该时间段内有1000辆车辆通过，求发生事故次数不小于2次的概率（利用泊松定理计算）． 解：设X表示发生事故的次数，将一辆车通过看作一次试验，事故A发生的概率是0.0001，则X＝k表示在1000次独立试验中，A发生了k次，故X服从二项分布，由于太大，p太小，利用泊松定理，取， 　　 ． 2．一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有8次呼唤的概率．（2）每分钟的呼唤次数大于10次的概率． 解：（1），则； 　　　　　(可通过查书未的泊松分布表求得： ） 　　　　（2）可直接查表得：． 3．一本300页的书中共有240个错误, 若每个印刷错误等可能地出现在任一页中, 求此书首页有印刷错误的概率． 解：设一页上的错误个数为X，一个错误在300页书中任一页的概率为1/300，共有240个错误，故X～，所求概率为　， 利用泊松定理，取，故上述概率近似为． 4．某设备在10 000次运行中，平均发生故障次数为10次，求在100次运行中发生故障的概率． 解：由已知条件，可认为设备发生故障的概率约为． 设事件A表示“在100次运行中不发生故障”，则由泊松定理可得 ， 所以在100次运行中发生故障的概率为： ． 5．设某产品不能经受疲劳试验的概率为0.001，试求：5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验的概率，并比较用泊松分布和二项分布计算的结果． 解：设X是“不能经受疲劳试验的产品个数”，则，其中，， 所以“5 000件产品中有一件以上不能经受疲劳试验”的概率 ＝＝ ； 利用泊松定理，取，则有 　　　（查表可得）． 可见，当充分大，而充分小时，用泊松分布去近似二项分布是比较准确的.