概率论解析答案习题解答.docVIP

第二章 随机变量及其分布 I 教学基本要求 1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系； 2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质； 3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用； 4、会求简单随机变量函数的分布. II 习题解答 A组 1、检查两个产品，用表示合格品，表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为 、、、 以表示两个产品中的合格品数. (1) 写出与样本点之间的对应关系； (2) 若此产品的合格品率为，求？ 解：(1) 、、、； (2) . 2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？ (1) ； (2) . 解：(1) 显然是单调不减函数；，且、；，故是某个随机变量的分布函数. (2) 由于，故不是某个随机变量的分布函数. 3、设的分布函数为 求常数及？ 解：由和得 ； . 4、设随机变量的分布函数为 求常数及？ 解：由得 ； . 5、设随机变量的分布列为 求常数？ 解：由得 . 6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？ 解：设表示5个产品中的次品数，则是离散型随机变量，其所有可能取值为0、1、…、5，且 、、、、、 于是的分布列为 . 7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，以表示抽样次数，求 (1) 的分布列； (2) 的分布函数？ 解：(1) 由题意知是离散型随机变量，其所有可能取值为1、2、3，且 、、 于是的分布列为 1 2 3 (2) 由(1)可知的分布函数为 . 8、设随机变量的分布函数为 求的分布列？ 解：的分布列为 -1 1 2 3 0.2 0.1 0.2 0.5 9、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻 (1) 恰有2个设备被使用的概率； (2) 至少有3个设备被使用的概率； (3) 至多有3个设备被使用的概率？ 解：设表示被同时使用的供水设备数，则 (1) 恰有2个设备被使用的概率为 ； (2) 至少有3个设备被使用的概率为 ； (3) 至多有3个设备被使用的概率为 . 10、经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%，如今餐厅有50个座位，但预定给了52位顾客，求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少？ 解：设表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，则，由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”，于是所求概率为 . 11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？ 解：设表示该城市一周内发生交通事故的次数，则 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率 ； (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率 . 12、设服从泊松分布，已知，求？ 解：由得 . 13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率： (1) 用二项分布作精确计算； (2) 用泊松分布作的似计算？ 解：设表示抽取的40件产品中的不合格品数，则 (1) 拒收的概率为 ； (2) 由于，于是拒收的概率为 . 14、设随机变量的密度函数为 求的分布函数？ 解：由得 当时 当时 当时 于是所求分布函数为 . 15、设随机变量的密度函数为 求的分布函数？ 解：由得 当时 当时 当时 于是所求分布函数为 . 16、设随机变量的密度函数为 求(1) 常数；(2) 的分布函数；(3) ？ 解：(1) 由得 ； (2) 当时 当时 当时 于是所求分布函数为 ； (3) . 17、设随机变量的分布函数为 求(1) 、、；(2) 的密度函数？ 解：(1) ； (2) 由于在的可导点处，有，于是的密度函数为 . 18、设，求方程有实根的概率？ 解：由得的密度函数为 又由于方程有实根等价于，即，于是方程有实根的概率为 . 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间(单位：分钟)服从参数为的指数分布，求下述事件的概率 (1) 至多3分钟； (2) 至少4分钟； (3) 在3分钟至4分钟之间； (4) 恰为3分钟？ 解：(1) 至多3分钟的概率为 ； (2) 至少4分钟的概率为 ； (3) 在3分钟至4分钟之间的概率为 ； (4) 恰为3分钟的概率为 . 20、设，求下列事件的概率；；