次函数与元次方程根的分布.docVIP

二次函数与一元二次方程根的分布 一、内容 1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论． 2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想． 3．能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想． 二、要点大揭秘 1．二次函数及图象 设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，判别式Δ=b2-4ac，当Δ＞0时y=f(x)与x轴有二交点；当Δ=0时，y=f(x)与x轴仅有一交点；当Δ＜0时，y=f(x)与x轴无交点． 当Δ＞0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为x1＜x2．一元二次函数y=f(x)与x轴交点x1，x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根． 观察图象不难知道． 图像为 观察图象不难知道△=0，a＞0　, △=0，a＜0 当△＜0时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为 观察图象不难知道． a＞0时,绝对不等式f(x)＞0解为x∈R． a＜0时,绝对不等式f(x)＜0解为x∈R． 2．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种： （1）应用求根公式； （2）应用根与系数关系； （3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性． 就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法． 设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋x=0的个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况： ②α，β同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑 三、好题解给你 (1)? 预习题 1. 设有一元二次函数y＝2x2-8x+1．试问， 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值变大还是变小？ 由此y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值分别是什么？ 解：经配方有y＝2(x-2)2-7 ∵对称轴x＝2，区间[3，4]在对称轴右边， ∴y＝f(x)在[3，4]上随x变大，y的值也变大，因此 ymax=f(4)＝1． ymin＝f(3)＝-5． 2.设有一元二次函数y＝2x2-4ax+2a2+3．试问，此函数对称轴是什么？ 当x∈[3，4]时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？ 由此，求y＝f(x)在[3，4]上的最大值与最小值． 解：经配方有y＝2(x-a)2+3． 对称轴为x=a． 当a≤3时，因为区间[3，4]在对称轴的右边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值也变大． 当3＜a＜4时，对称轴x=a在区间[3，4]内，此时，若3≤x≤a，随x变大，y的值变小，但若a≤x≤4，随x变大，y的值变大． 当4≤a时，因为区间[3，4]在对称轴的左边，因此，当x∈[3，4]时，随x变大，y的值反而变小． 根据上述分析，可知． 当a≤3时，ymax=f(4)=2a2-16a+35．ymin=f(3)＝2a2-12a+21． 当3＜a＜4时，ymin＝f(a)＝3． 其中，a≤3.5时，ymax＝f(4)＝2a2-16a+35． a≥3.5时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21． 当a≥4时，ymax＝f(3)＝2a2-12a+21．ymin＝f(4)＝2a2-16a+35． (2)? 基础题 例1．设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)＝0．试问： (1)m为何值时，有一正根、一负根． (2)m为何值时，有一根大于1、另一根小于1． (3)m为何值时，有两正根． (4)m为何值时，有两负根． (5)m为何值时，仅有一根在[1，4]内？ 解：(1)设方程一正根x2，一负根x1，显然x1、x2＜0，依违达定理有m+2＜0． ∴　 m＜-2． 反思回顾：x1、x2＜0条件下，ac＜0，因此能保证△＞0． (2)设x1＜1，x2＞1，则x1-1＜0，x2-1＞0只要求(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0． 依韦达定理有 (m+2)+2(m-1)+1＜0． (3)若x1＞0，x2＞0，则x1+x2＞0且x1，x2＞0,故应满足条件 依韦达定理有 (5)由图象不难知道，方程f(x)＝0在[3，4]内仅有一实根条件为f(3)·f(4)＜0，即 [9+6(m-1)+(m+2)]·[16+8(m-1)+(m+2)]＜0． ∴(7m+1)(9m+10)＜0． 例2. 当m为何值时，方程 有两个负数根？ 解：负数根首先是实数根，∴ ， 由根与系数关系：要使方程两实数根为负数，必须且只需两根之和为负，两根之积为正． 由以上分析，有 即 ∴当 时，原方程有两个负数根． ? (3)? 应用题 例1. m取何实数值时，关于x的方程x2+（m-2）x＋5-m=0的两个实根都