次方程根的判别式.docVIP

二次方程的根的判别式2 【学习目标】 1．知道什么是一元二次方程的根的判别式． 2．会用判别式判定根的情况． 【主体知识归纳】 1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示． 2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立． 【基础知识讲解】 1．根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝． 2．根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号． 3．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号． 4．判别式有以下应用： (1)不解方程，判定一元二次方程根的情况； (2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围； (3)应用判别式进行有关的证明． 【例题精讲】 例1：不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）3x2－2x－1＝0； （2）y2＝2y－4； （3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0； （4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0． 解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根． (2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根． (3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程． 又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根． (4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36， ∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数， ∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 说明：(1)运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式． (2)判别式的应用是以方程ax2＋bx＋c＝0中a≠0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点． (3)要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题． 例2：已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0．k取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根? 解：Δ＝(2k)2－4（k－1）（k＋3）＝－8k＋12． (1)当－8k＋12＞0，且k－1≠0，即k＜且k≠1时，方程有两个不相等的实数根； (2)当－8k＋12＝0，且k－1≠0，即k＝时，方程有两个相等的实数根； (3)当－8k＋12＜0，且k－1≠0，即k＞时，方程没有实数根． 说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零． 例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(b－x)2－4(a－x)(c－x)＝0必有实数根． 剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方程从形式上不能直接判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得－3x2＋(4a＋4c－2b)x＋b2－4ac＝0，显然是关于x的一元二次方程，所以只要证明Δ≥0即可． 证明:原方程可化为－3x2＋(4a＋4c－2b)x＋b2－4ac＝0， ∴Δ＝(4a＋4c－2b)2－4×(－3)(b2－4ac)＝16a2＋16b2＋16c2－16ab－16bc－16ac ＝8［(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2］ ∵不论a、b、c为何值，都有(a－b) 2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0． ∴Δ＝8［(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2］≥0 ∴方程必有实数根． 说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明． 例4:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况． 剖析：要判断y2＋my－2m＋5＝0根的情况，只要判断Δ2＝m2－4(－2m＋5)＝m2＋8m－20的取值情况即可．而x2＋2x－m－9＝0没有实数根，可得Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0， 即m＜－10，而当m＜－10时，m2＋8m－20恒大于零，所以方程y2＋my－2m＋5＝0有两个不等的实数根． 解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10． 又y2＋my－2m＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m2－4(－2m＋5)＝m2＋8m－20 当m＜－10时，m2＋8m－200，即Δ20． ∴方程y2＋my－2m＋5＝0有两个不