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正态分布 【2014年高考会这样考】 1．考查根据正态密度曲线的对称性进行概率计算． 2．考查正态随机变量在特定区间上的概率． 【复习指导】 1．了解正态分布与正态曲线的概念． 2．掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数μ，σ的含义． 　　 考点梳理 1．正态曲线及性质 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－， x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线． (2)正态曲线的解析式 ①指数的自变量是x定义域是R，即x∈(－∞，＋∞)． ②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数． ③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数． ④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为－. 六条性质 正态曲线的性质 正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质： (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴围成的图形的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 考点自测 1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是(　　)． A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10 解析　由e－＝e－，可知σ＝2，μ＝10. 答案　B 2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)等于(　　)． A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 解析　由P(ξ＜4)＝0.8知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝0.2， 故P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C. 答案　C 3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)等于(　　)． A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5 解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝0.5－P(2≤X≤4)＝0.5－×0.682 6＝0.158 7.故选B. 答案　B 4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)等于(　　)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 解析　P(－2≤X≤2)＝1－2P(X2)＝0.954. 答案　C 5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(Xc＋1)＝P(Xc－1)，则c等于(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是＝2，∴c＝2. 答案　B 　　 考向一　正态曲线的性质 【例1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 . (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率． [审题视点] 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关． 解　(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是 φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)． (2)P(－4X≤4)＝P(0－4X≤0＋4) ＝P(μ－σX≤μ＋σ)＝0.682 6. 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响． 【训练1】 设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)． A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2 解析