正项数的审敛法.docVIP

第二节 正项级数的审敛法 教学目的:弄清正项级数的定义；熟练掌握正项级数敛散性的常用判别法， 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程: 一、正项级数及其审敛法 1.正项级数：若级数的各项, 则称级数为正项级数. 2.【定理1】(基本定理): 正项级数收敛有界. 且此时 说明：因,于是,可见单调递增. 故 收敛 收敛 有界. 此时显然有. （注意：单调有界数列收敛） 3.【定理2】(比较判别法): 设与均为正项级数, 且 , , 则 (1) 收敛收敛; (2)发散发散. 证明: 由条件知, , 那么 (1) 收敛有界有界收敛; (2) 发散无界无界发散. 另证：若收敛，由（1）证明知必收敛，此与题设 发散矛盾，所以假设不成立，即发散. 4.【推论】(1) 若级数收敛且存在, 时 恒有: , (为常数),则级数收敛. （2）若级数发散且存在, 时恒有: ,(为常数),则级数发散. 例1 讨论级数的敛散性. 解: ① 若 由于 级数发散. ② 若 由 所以 , 那么 , 可见有界级数收敛. 综上知：级数收敛 .（此结论当定理使用） [由级数得结论]： 设为正项级数, 那么 若, 且, , 则收敛; ② 若,, 则发散. 例2 (1)证明级数是发散的. 证明: . (2) 证明级数是发散的. 证明：因为，且 故 级数是发散的. 例3（1）讨论级数的敛散性. 解：， 而级数为收敛的级数 所以级数 收敛. （2）讨论级数的敛散性. 解：， 而级数是收敛的几何级数 所以级数 收敛. (3)判断级数 的敛散性. 解 令 为正项级数. 又 级数为收敛的P－级数，所以收敛，由比较判别法知 故级数 收敛. （4）讨论级数的敛散性. 提示：收敛正项级数收敛. （5）判别级数的敛散性. 且收敛. 例4 设.（1）求的值.（2）证明当 （常数）时，级数收敛. （1）解 所以 （2）证明 因为 ， 且时，收敛，故原级数收敛. 练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性: (1) 解　该级数为,由,且发散,知原级发散. (2) 解 该级数为,由,且收敛,知原级数收敛. (3) 解 由于, 这是一个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判别法可知原级数收 敛. (4) （由函数单调性知 所以函数单调递增，时） 解 因为,所以,而调和级数发散,由比较 判别法可知原级数发散. (5) 解 由于,是一个公比为的收敛几何级 数，所以由比较判别法可知原级数收敛. (6) 解 由, 收敛,知原级数收敛. 例5 讨论级数的敛散性. 解：1）时由且收敛可得原级数收敛. 2）时由且发散可得原级数发散. 3）时由且发散可得原级数发散. 结论：当通项较容易通过不等式的放缩而找到已知敛散性的级数的通项 时，可以选择比较判别法.利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、 P－级数的敛散性非常熟悉. 5．【定理3】(比较判别法的极限形式): 设与均为正项级数,若，则 (1)当时,若收敛,则也收敛； (2)当时,若发散,则也发散. （3）)当时,若与 有相同的敛散性. 结论的另一种叙述方法： (1)当时,与 有相同的敛散性； (2)当时,若收敛,则也收敛； (3)当时,若发散,则也发散. 证明:(1)由, 当时，, 或 ,, 若收敛,则也收敛； (2)因为 ,，故，, 若收敛,则也收敛,可见,若发散,则必发散. 补充结论证明提示 当时,由得对时 由正项级数的比 较判别法得若收敛,且，则收敛.若 收敛， 且，则收敛；故原结论成立. （2）当时, 由比较判别法得结论成立. （3）当时,由无穷大的概念知 收敛由正项级数的比较判别法得收敛，故结论成立. 【推论】(极限法): 设为正项级数,且, (1)当,时,级数收敛; (2)当,时,级数发散. （证明方法：设为正项级数,其中，利用比较判别法去证） 注意：利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念，时 例6 （1） 判别级数的敛散性. 解: 级数发散. （2）：发散， 可推出原级数发散. （3）判别级数的敛散性. 解: , 且 是收敛的级数（） 级数收敛. . （4）讨论级数的敛散性. 解：令，则 且发散 正项级数发散. (5)判别级数的敛散性. 解：时，且收敛收敛. （6）：，， 收敛，推出收敛. (7): 提示 令 ， ，发散 原级数发散. 例7 判定级数的敛散性. 解 （1）当时，发散. （2）当时，令， 收敛（），所以原级数收敛. 另证：令 ,收敛（），所以原级数 收敛. （3）当时，令， 收敛（），所以原级数收敛.