2.12.2列写系统微分方程的一般方法汇编.ppt

第二章 控制系统的数学模型 控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？ 2.1 列写系统微分方程的一般方法 一. 用解析法建立系统微分方程的一般步骤 二. 例子 2.2 非线性数学模型的线性化 * * 第二章 控制系统的数学模型 1.定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部 其它变量之间关系的数学表达式 2.描述方法： 输入-输出描述（端部描述） 常微分方程 传递函数 系统框图 状态变量描述（内部描述） 状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统 一. 描述系统运动的数学模型 二. 建立系统数学模型的方法 解析法: 根据系统各变量所依据的物理定律、化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入的表达式。 实验法：给系统施加一定的测试信号，依据系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模型，又称系统辨识。 分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（必要扰动）。 根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式（考虑相邻元件之间的影响）。 消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数的微分方程。 对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方。 图2-1 Ｒ-L-C电路 消去中间变量 ，则有: 解：由基尔霍夫定律得： 1、电气网络系统 例1：无负载效应的电路 图2-2 R-C滤波网络 消去中间变量i1 、 i2 得 或写作 例2：有负载效应的电路 列写2极相同形式RC串联电路组成的滤波电路的微分方程 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组： 解： 例3：求图2-3所示弹簧-质量-阻尼器系统的数据模型 解：由牛顿第二定律列出方程 图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统 即 式中： - 阻尼器阻力 ky(t) - 弹簧拉力 ｋ- 为弹簧的弹性系数 2、机械位移系统 ｆ- 为阻尼系数 描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为 列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入－输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式 写微分方程式的一般步骤 　直流他励发电机 由电机学原理得： 图2-4 直流他励电动机电路图 把式（2-2）代入（2-1），则得 （2-1） （2-2） （2-3） 式中 假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线 ，即Φ/ib =L。 一、可线性化的条件 变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在 二、微偏法 在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。 设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-5所示，相应的数学表达式为 图 2-5 非线性特性的线性化 y=f(x) （2-4） 在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数 y=f(x) → 三、举例 直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-5所示。 设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加△U1，求其增量电势△EG的变化规律。 图2-5 发电机的磁化曲线 若励磁电压增量 ，则有 如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为 由式（2-21）减式（2-19），式（2-22）减式（2-20）后得 式（2-23）、（2-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到△u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。