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第0章 预备知识（场论） 场论是流体力学的数学基础，因此，本章将简明扼要地介绍流体力学中常用的场论知识，便于读者学习中应用。 标量、向量、张量及场的概念 0.1.1标量、向量、张量及场的概念 物理量按其空间维数可分为标量、向量与张量。标量只有大小没有方向，只需一个数量及单位即可表示，如流体的温度、密度等是标量，这里是空间点位置，t是时间变量。向量也称为矢量，它既有大小又有方向，可由某一空间坐标系的三个坐标分量来表示，如流体的速度、加速度等是向量。本书中向量用黑体字表示。三维空间中的二阶张量必须由九个分量才能完整地表示，如流体中一点的应力、变形速率等是二阶张量。在三维空间中由3n个分量来表示的量称为n阶张量，n为阶数。从张量的概念来讲，标量是零阶张量（），向量是一阶张量()。 如果在全部空间或部分空间的每一点都对应某物理量的一个确定值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个“场”。也就是说，场是具有物理量的空间。如果这个物理量是标量，就称这个场为标量场，如温度场、密度场等。如果这个物理量是向量，就称为向量场，如速度场、加速度场等。如果这个物理量是张量，就称为张量场，如应力场、应变场等。 场和函数相对应。标量场对应标量函数，向量场对应向量函数，而张量场对应张量函数。场的研究方法是将物理量作为空间点位置和时间t的函数，t作为参变量处理，即分析t时刻场的情况。不讨论各种场具体的物理意义，而从数学上研究场的一般规律的学科称为“场论”。 0.1.2场的几何描述 （1）标量场的等值面 在场中时刻，由标量函数数值相同的点所组成的曲面称为等值面，即 （同一等值面上为常数） (0.1.1) 取不同值对应于不同的等值面，如图0.1.1所示。等值面直观地描绘了标量在场中的分布情况。 （2）向量场的向量线 向量线是这样的曲线，它上面每一点处曲线都与对应于该点的向量=axi+ayj+azk相切。若向量线上任意一点的位置用矢径r=xi+yj+zk（即图0.1.2中）表示，根据向量线的定义，矢径微分dr=dxi+dyj+dzk方向与的方向相同，即差积为零 （0.1.2） 这就是向量线的微分方程。在直角坐标系中上式表示为 （0.1.3） 解此方程得向量线族。向量线族直观地描绘了向量在场中的分布情况。 在a不为零的情况下，当ax，ay，az单值连续且有一阶连续偏导数时，向量线连续分布于向量场所在的空间，而且互不相交，如图0.1.2所示。如果向量a为流体的流速v，向量线就是流线。 向量及张量的基本运算 0.2.1向量运算符号规定 （1） 爱因斯坦（Einstein）求和符号 在数学式子中出现的一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如 (0.2.1) 式中ai，ei分别是向量a在正交坐标系中的坐标分量和坐标轴单位向量。又如 （2） 克罗内克（Kronecker）符号 任意两个正交坐标轴单位向量的点积用?ij表示，称为克罗内克?，即 (0.2.2) 式中i,j是自由指标，?ij可写作 （3） 置换符号 任意两个正交坐标轴单位向量的叉积可表示为 (0.2.3) 式中?I j k称为置换符号，也称利奇（Ricci）符号，其数值如下 （0.2.4） 即?123=?231=?312?1，?132=?321=?213?-1，其余分量为零。由此可知，?ijk中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个负号，如?132=-?123，故?ijk 称为置换符号。  置换符号?ijk和?符号之间有如下关系 （0.2.5） 0.2.2向量运算的常用公式 （1） （1） （2） （3） （4） （5） 0.2.3向量分量的坐标转换 下面讨论某一直角坐标系旋转至一新的方位时坐标轴单位向量及向量分量之间的转换关系。因为向量a与坐标系无关，因此 （0.2.6） 其中分别是新老直角坐标系中坐标轴的单位向量和坐标分量，如图0.2.1所示。显然有 (i，j=1,2,3) （0.2.7） 且