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浅谈如何求二面角的平面角 一、 定义法： 两个半平面为等腰或等边三角形或全等三角形 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1、如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M在侧棱上，=60° （II）求二面角的大小。 解（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中 过点作交 于点，则点为AM的中点，过F点在 平面ASM内作， GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC， 且M是SC的中点，∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵为AM的中点， ∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2、如图，在四棱锥中，底面是矩形． 已知． （1）证明平面； （2）求二面角的大小． 分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。 三．补棱法 本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 例3、已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱长都是a，侧棱与底面成600的角，侧面BCC1B1⊥底面ABC。 （1）求证：AC1⊥BC； （2）求平面AB1C1与平面 ABC所成的二面角（锐角）的大小。 提示：本题需要补棱，可过A点作CB的平行线L 四、射影面积法（） 二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。 例4．（2008北京理）如图，在三棱锥中，，， ，． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的大小； 分析：本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射 于是得到下面解法。 解：（Ⅱ），，． 又，． 又，即，且， 平面． 取中点．连结． ，． 是在平面内的射影，． ∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影， 设二面角的大小为， 则 五、向量法 向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。 例5. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），D（0，a，0）． ∴Q（2，2，0），D（0，4，0）， ∴． 面AA1D的法向量． 设面A1DQ的法向量， 则 ∴． 令a1=1，则， ∴． 二面角的平面角为锐角 ∴二面角A—A1D—Q的大小为． 用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这在一定程度上降低了学生的空间想象能力。