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浑浊集与系统的浑浊表示 章 真, 浙江省, 杭州市, 半山发电厂 曹云娟, 陆炳文, 浙江省, 杭州市, 浙江省电力职工大学 [摘要] 浑浊集是描述不确定性的一种数学方法. 本文在原浑浊集的基础上进一步引进了浑浊元的概念, 使得浑浊集理论更趋于完善. 本文的最后给出了利用浑浊集对不确定系统的描述方法. [关键词] 浑浊元, 浑浊集, 浑浊关系, 浑浊映射. 1. 引言 浑浊集[1]是描述不确定性的一种数学方法. 浑浊系统是浑浊集在系统论上的应用. 同通常的系统方法不同, 浑浊集即可以处理多种不确定性系统, 即除了模糊系统与随机系统外, 还可以处理认识上存在分歧的系统. 这就是说, 浑浊集可以处理各种各样的非经典系统, 而这类系统正好是我们在日常生活、经济活动中经常遇到的. 2. 浑浊集的一些基本概念 2.1. 浑浊集的定义 定义 2.1.1 设Ω与U是两个集合(分别称为隐集与第一论域). (1) 设是一个映射.浑浊元定义为: . (2) 设(P表示幂集)是一个映射.浑浊集定义为: . (3) 浑浊元对浑浊集的隶关系定义为: . 为方便起见, 我们常用, 等表示浑浊集; 用, 等表示浑浊元; 用U, V, W, 等表示第一论域. 以U为第一论域且以Ω为隐集的所有浑浊集的集通常记作; 以U为第一论域且以Ω为隐集的所有浑浊元的集称为第二论域, 通常记作. 特别地, 如果浑浊集满足: , 对所有我们把记为; 如果浑浊集满足: , 对有, 我们把记为. 第一论域与第二论域是两个不同的论域, 第一论域一般表示我们对某一事物的一种浑浊的描述, 第二论域则为一个实在的个体在第一论域下的一种表示. 例1. 设x是身高为1.70m的一个人, 第一论域为U = { 高个子, 中等个子, 矮个子 }. 则表示身高为1.70m的人在第一论域下的一种表示, 比如 表示把 x 看成高个子的真值为. 例2. 设x为一个硬币, 第一论域为U = { 正面, 反面 }. 则表示投硬币为正面的真值. 例3. 设 x 为一投资项目, Ω为五个专家, 记作1, 2, 3, 4, 5. 又设U = { 价值大, 价值较大, 价值不大 }. 则表示认为项目x投资价值大的专家为{ 1, 3, 4 }. 定义 2.1.2 设. (1) 定义为: , 对所有; (2) 定义为: , 对所有; (3) 定义为: 对所有, ; (4) 定义为: 对所有, ; (5) 定义为: 对所有, . 对于多个浑浊集的交与并也可以类似地定义. 定理 2.1.1 (基本同构定理)普通集代数结构与浑浊集代数结构同构. 证明. 由定义 2.1.2 立即可得. 基本同构定理提出浑浊集的代数特征与普通集的代数特征完全相同, 这给我们处理浑浊集带来了极大的方便, 同时也提出浑浊集代数是一个Boole代数. 用Boole代数来表示不确定现象的合理性我们巳提出过[2]. 2.2. 浑浊关系 定义 2.2.1 设且. 定义为: . 容易验证, . 对多个浑浊集的有序积可同定义 2.2.1 相似地定义. 定义 2.2.2 称为中的一个浑浊关系如果. 称为的一个逆关系如 当且仅当. 定义 2.2.3 设为中的一个浑浊关系, . (1) 定义为: . (2) 定义为: . 容易验证, , . 定义 2.2.4 设, . 称浑浊关系 . 容易验证, . 定义 2.2.5 称为一个浑相似关系, 如果(1) 自反律: 如果; (2) 对称律: 如果,则当且仅当. 称浑浊相似关系为一个浑浊等价关系如果 (3) 传递律: . 容易验证, . 定理 2.2.1 设是两个浑浊等价关系. 如果, 则也是一个浑浊相似关系. 证明. 由定义 2.2.5 立即可得. 定理 2.2.2 设是一个浑浊相似关系. 则也是浑浊相似关系. 更进一步地, 是一个浑浊等价关系. 定义 2.2.6 称浑浊关系为一个浑浊恒等关系, 对, 如果, 则. 2.3 浑浊映射 定义 2.3.1 称浑浊关系为一个浑浊映射, 记作, 如果 (1) , (2) 对所有, 如果, 则存在且只存在一个使得. 不难证明, 对所有, 则. 定理2.3.1 设是两个浑浊映射. 则 (1) ; (2) . 定理 2.3.2 设是一个浑浊映射, . 则 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 定义 2.3.2 设是一个浑浊映射, . 定义浑浊元, 为. 显然, . 定义 2.3.3 (1) 称浑浊映射是一个浑浊满射, 如果. (2) 称浑浊映射是一个浑浊单射, 如果 对所有, 如果, 则存在且只存在一个使得. (3) 称浑浊映射是一个浑浊双射, 如果它是一个浑浊满射同时又是一个浑浊单射. 定理 2.3.3 (1) 如果与都是