实验数学八：曲柄滑块机构的运动规律课案.ppt

* 曲柄滑块机构的运动规律 8.1 实验目的 本实验主要涉及微积分中对函数特性的研究。通过实验复习函数求导法、Taylor公式和其他有关知识。着重介绍运用建立近似模型并进行数值计算来研究、讨论函数的方法。 8.2 实验问题 曲柄滑块机构是一种常用的机械结构，它将曲柄的转动转化为滑块在直线上的往复运动，是压气机、冲床、活塞式水泵等机械的主机构。图8.1为其示意图。 * 记曲柄OQ的长为r，连杆QP的长为l， 当曲柄绕固定点O以角速度 P在水平槽内作往复直线运动。 旋转时，由连杆带动滑块 假设初始时刻曲柄的端点Q位于水平线段OP上， 曲柄从初始位置起转动的角度为 ， 连杆QP与OP的锐夹角为 （称为摆角）。 * 在机械设计中要研究滑块的运动规律和摆角的变化规律， 确切地说，要研究滑块的位移、速度和加速度关于 的函数关系， 摆角 及其角速度和角加速度关于 的函数关系， * （1）求出滑块的行程S（即滑块往复运动时左、右极限位置间的距离）； （2）求出滑块的最大和最小加速度（绝对值），以了解滑块在水平方向上的作用力； （3）求出 的最大和最小角加速度（绝对值），以了解连杆的转动惯量对滑块的影响。 在求解上述问题时，我们假定 * 8.3 数学模型 取O点为坐标原点，OP方向为x轴正方向，P在x轴上的坐标为x，那么可用x表示滑块的位移。 利用三角关系，立即得到 * 于是滑块的速度 进而，可以得到滑块的加速度为 * 同样，基于关系式 我们有摆角的表达式 式（8.6）对t求导， * 由此再得 利用（8.6）， 不难由上两式导出 * 至此，我们得到了滑块位移x和连杆摆角 运动规律中有关变量依赖 的表达式。 滑块的加速度为 虽然我们已经得到了有关变量的解析式，但是要求出问题的解并非十分简单。由于滑块加速度和摆角角加速度的函数表达式（8.5）和（8.11）相当复杂，从这两个式子来了解这两个量并不方便，而要用它们进一步求出极值则更加不易（当然，可以借助数学软件来进行，我们把这一点留给读者）。 * 由于数学模型本身是对实际问题的抽象，从而也必定有某种简化和忽略。即使我们得到了问题的解析形式解，一般说来，它仍然是对实际情况的近似。为了方便起见，对较为复杂的解析模型进行近似处理常常是必要的。事实上，在曲柄连杆结构（以及不少工程问题）的研究中，确实经常使用着这个方法。 8.4 近似模型 将位移的表达式（8.1）改写为 * 一般而言， 是远比1小的数， 滑块位移的近似模型为 从而有相应的近似速度 和近似加速度 这里速度和加速度是直接对近似位移模型求导得来，而不是对v和a的精确表达式（8.4）和（8.5）的近似。 * 当然，我们也可以直接从滑块速度的解析式（8.4）进行近似。 仍利用公式（8.12） 把上式代入（8.4），就得到滑块速度的近似模型 * 从（8.16）出发，又可得近似加速度 对摆角 可以利用幂级数展开的Maclaurin公式 得到摆角的近似模型。 粗略一些，可以取 而必要时，可以取 * 相应的近似角速度为 近似角加速度为 * 8.5 问题的解法和讨论 Ⅰ．滑块的位移和行程 利用滑块位移的解析式（8.1）和近似式（8.13）， 表8.1列出了 从0到π位移一些相应数值（单位：mm）。 考虑到对称性和周期性，只要计算这一区间中的函数值就可以了。 * 表8.1 mm 0 400.000 400.000 395.475 395.476 382.407 382.436 362.258 362.377 337.228 337.500 ….. …… …… 209.201 209.231 202.289 202.291 200.000 200.000 行程可以从表8.1中的值求得， * 从几何直观上看也十分明显： Ⅱ．滑块的加速度及其最值 利用精确表达式（8.5）和近似表达式（8.15）、（8.17）， * 计算滑块的加速度。注意加速度仍具有对称性和周期性。表8.2列出了一些相应的数值（单位：mm/s2）： 表1.2 mm/s2 0 －84 220.6 －84 220.6 －84 220.6 －79 463.6 －79 461.5 －79 247.5 －65 837.4 －65 815.3 －65 230.5 －45 302.0 －45 249.6 －44 664.7 －21 086.8