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湖北省八校2013届高三第二次联考 文科数学 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知命题所有指数函数都是单调函数，则为（ ） A．所有的指数函数都不是单调函数 B．所有的单调函数都不是指数函数 C．存在一个指数函数，它不是单调函数 D．存在一个单调函数，它不是指数函数 2．已知则集合A的子集共有（ ） A．1个 B．2个 C．4个 D．8 个 3．“”是“的解集是实数集R”的（ ） A．充分而非必要条件 B．必要而非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 4．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．已知是单位圆上的动点，且，单位圆的圆心为O，则（ ） A． B． C． D． 6．两个正数的等差中项是，一个等比中项是，且，则抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布. A． B． C． D． 8．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为，直径为4的球的体积为，则（ ） A． B． C． D． 9．定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为 曲线C到直线的距离；已知曲线到直线 的距离等于，则实数的值为（ ） A． B． C． ． 10．已知R,用符号表示不超过的最大整数。若函数有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，满35分，把答案填在答题卡上对应题号后的横线上） 11． 函数，则 . 12．已知是虚数单位，，为的共轭复数,则复数在复平面上对应的点的坐标为 . 13．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为的数据不慎丢失，则依据此图可得： （1）年龄组对应小矩形的高度为 . （2）据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在的人数为 . 14．已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为 . 15．已知定义在R上的偶函数的周期为2，且当时，则 . 16．已知的顶点分别是离心率为的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上； 一同学已正确地推得：当时有， 类似地，当时，有 . 17．基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图中横轴表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴OM表示收入的累积百分比，弧线OL(称为洛伦兹曲线)与对角线之间的面积A叫做“不平等面积”，折线段OHL与对角线之间的面积叫做“完全不平等面积”，不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数，则： (1) 当洛伦兹曲线为对角线时，社会达到“共同富裕”,这是社会主义国家的目标，则此时的基尼系数等于 . (2)为了估计目前我国的基尼系数，统计得到洛伦兹曲线后，采用随机模拟方法：随机产生两个数组成点,共产生了1000个点，且恰好有300个点落在B区域中。则据此估计该基尼系数为： . 三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分12分）已知向量，，设函数 （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）在中，A为锐角，角的对边分别为，且的面积为3，求的值. 19．（本小题满分12分）如图直三棱柱的侧棱长为3，，且，点分别是棱上的动点，且. (Ⅰ)求证：无论E在何处，总有 ； (Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值. 20．（本小题满分13分）设数列的前项和为，且满足 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列：两项之间插入个数，使这个数构成等差数列，其公差记为，求数列的前项的和. 21．(本小题满分14分)已知椭圆的右焦点为，M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且两焦点与短轴的两端点构成边长为的正方形. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在