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2008年版博士资格考试大纲 考试时间：150分钟 分析学(100分， 三门中选二门) 复分析 (50分) Cauchy积分理论 Weierstrass级数理论 解析延拓 Riemann的几何理论 正规族理论 Riemann映射定理及边界对应原理 5 分式线性变换群和特殊区域的解析自同胚群 6 Schwarz引理 (a) Schwarz-Pick-Ahlfors定理 (b) Poincare度量 7 Riemann曲面的基本理论 (a) Riemann曲面的概念 (b) 亏格和Riemann-Roch定理 (c) 紧Riemann曲面的分类 实分析 (50分) Fourier变换 函数的Fourier变换 Schwartz函数与缓增分布 Plancherel公式，函数的Fourier变换 收敛与求和，Poisson核、Gauss核 Hardy-Littlewood极大函数 恒等逼近 Marcinkiewicz插值定理 Hardy-Littlewood极大函数 奇异积分 Hilbert变换 Riesz变换 卷积型奇异积分算子 一般（非卷积型）Calderon-Zygmund算子 Hardy空间与BMO空间 原子Hardy空间 BMO空间 Littewood-Paley理论与乘子 Littewood-Paley理论 H?rmander乘子定理 泛函分析 (50分) Banach空间和Hilbert空间的基本理论及典型例子 Banach空间和Hilbert空间上有界线性泛函和线性算子基本理论 紧算子 Riesz-Fredholm理论 紧算子的基本性质, 谱理论 对称紧算子 有界自伴算子的谱分解　 闭算子的理论 （f）自伴扩张 (g) 无界自伴算子的扰动 算子半群 Hille-Yosida定理 单参数算子酉群的Stone定理 参考书目： 【1】 Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill Book Company 【2】 伍鸿熙等: 紧Riemann曲面引论 科学出版社 【3】 J. Duoandikoetxea, Fourier analysis, Amer. Math. Soc.; 【4】 程民德，邓东皋，龙瑞麟编著，实分析，高等教育出版社. 【5】张恭庆, 林源渠等: 泛函分析讲义上, 下册 【6】Yosida: Functional Analysis Springer-Verlag;) 二. 代数学 （100分） 群 1 群, 子群, 正规子群, 商群; 同态与同构, 同态定理与同构定理. 群例: 循环群, 二面体群, 四元数群, 置换群, 线性群, $A_n$, $S_n$. 自由群,生成元与定义关系. 群在集合上的作用; Sylow定理和群. Jordan-Holder 定理,直积分解定理. 可解群. 算子群. 特殊射影线性群的单性. 空间上的型与典型群. 辛群. 环 环, 子环, 理想, 商环; 同态与同构, 同态定理与同构定理. 环的直和. 素理想和极大理想, 幂零根和Jacobson根. 环的整除性理论, 唯一分解环, 主理想整环, 欧几里得环. 整环的分式域. 交换环上的多项式环, Gauss引理. 形式幂级数环. 四元数体. 域 有限扩张, 扩张次数乘积公式. 多项式的分裂域, 正规扩张. 可分扩张. 单扩张定理. Galois基本定理, 简单的Galois扩张. 用根式解方程的判别准则. 有限域. 模 模, 子模, 商模; 模同态与同构, 模同态定理与同构定理. 模的自同态环. 模的直和与直积. 自由模. 主理想整环上的有限生成模的结构定理. Nakayama引理. 模的张量积. 同态函子和张量函子 整性相关. 结合代数和有限群的表示论 代数和模. 不可约模和完全可约模. 半单代数的结构. 群的表示、特征标、正交关系、特征标表. 初等数论 1. 算术基本定理2. 数论函数3. 孙子定理4. 二次互反律5. 连分数6. Pell方程 参考书目 【1】 聂灵沼，丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社，2000. 【2】 徐明曜，赵春来，《抽象代数（II）》，，北京大学出版社 【3】 N.Jacobson: Basic Algebra 1, 2nd Edition W.H. Freeman Company 1974 【4】柯斯特利金： 代数学引论 （第一卷） 高等教育出版社 【5】潘承洞， 潘承彪： 初等数论， 第