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行列式 第一节 数域与排列 第二节 行列式定义 填空 1.（1）0；（2）5；（3）；（4）；（5） 3.和； （由n阶行列式的定义） 4. 正 （，注意将行标写为标准次序）； 5. ； 6. （将行标写为标准次序列标排列的逆序数应为奇数）； 7. （只有主对角线上的元素相乘为）； 8. ； 9. ； （提示：一元次方程个根之和为次项的系数，本题次项为，其系数为0，也即，利用行列式的性质可得结果为0，超纲题）； 10. 二、1. （直接利用对角线法则，也可用性质计算）； 2. （按n阶行列式的定义，只有一项不为0，乘积的列标排列为1324，逆序数为奇数，故为 ）。 第三节 行列式的性质 第四节 行列式按行（列）展开 一、1. A（B,C,D为充分条件）； 2 . C（由教材P23定理1.4.1可得）； 3. C； 4. A（） 二、1、（各列都加到第一列则第一列元素全为0） ； 2、； （,而,每行提公因子）； 3、（由n阶行列式的定义）； 4、（）； 5、， （）； 6. ，（，可解得）。 第五节 克拉默法则 D （A,B,C充分非必要） 二、 提示：所需计算的5个行列式恰好都是范德蒙德行列式，由范德蒙德行列式计算可得，系数行列式，另 所以， 三、且 提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式，即 ，解得。 四、 解法一：（高数）点法式方程 法向量 解法二：设平面方程为 ，且平面过点 则有： 方程组有非零解系数行列式等于零 即 故得，平面方程为 综合题 一、1、C、（B应为正，D应为负） 2、B、（第二列加第一列，再第三列加第二列；第二列提公因子2，第三列提公因子3；交换一、三行） 3、B、（即） 4、A（元素-3的代数余子式为） 二、1、 和 ；（由n阶行列式的定义） 2、，； 提示：第一、三行， 3、；（将做逐行互换得到，共做次相邻的行互换） 4、；（提示：齐次线性方程组有唯一解即只有零解，需系数行列式） 5、；（将D的最后一行换为-1,1，-1,1；注意余子式与代数余子式的关系） 6、；（出现的项有两个，系数分别是1和-2） 7、（提出第二列公因子）；（每行提公因子）； （拆分第二列；或；第一列提公因子，第二列提公因子。）； 8、 （展开有） 三、1、； （提示：n阶行列式定义） 2、； （提示：n阶行列式定义） 3、； (提示：（1）定理 （2） ) 4、；（提示：先按第一列拆分、再按第三列拆分或） 注：由于技术原因，本章出现的符号应为 ，请注意！ 5、160； 6、； (展开降阶) 7、0； 8、； （由n阶行列式的定义） 9、；（参考教材P19例1.3.4） 10、（1）当时， （2）当时，由得第二行与第三行对应成比例，所以. 11、 (利用性质和按行（列）展开直接计算可得) 12、 (提示：类例1.6.2，例1.6.3) (按第一行展开) 四、错。 正确答案为 五、；（第一行元素与第三行元素的代数余子式乘积之和为0） 六、提示：系数行列式 ，得只有零解。 七、1、提示：利用加边法，得到范德蒙德行列式。 一方面，，而所求四阶行列式为元的余子式。另一方面，由范德蒙行列式知， ，整理成的多项式。比较的系数即得所求四阶行列式。 2.（课本例1.4.2） 八、解：；（定理） 另：法1：按最后一行展开。法二：第一行加最后一行的-1倍，再将第一列加到最后一列。方法有很多，自己总结。 九、解： 或者： 。 十、 提示：