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版高数学轮精品复习学案:函数应用《函数与方程和函数模型及其应用》
2012版高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用
第六节 函数应用
【高考目标导航】
一、函数与方程
1、考纲点击
(1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
(2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。
2、热点提示
(1)函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容,在近年的高考中一定有所体现。
(2)本节内容多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,不排除与其他知识,在知识交汇处命题。
二、函数模型及其应用
1、考纲点击
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
2、热点提示
(1)函数的模型及其应用是考查重点。
(2)现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点,也是难点,主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力。
(3)题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现,但以解答题为主。
【考纲知识梳理】
一、函数与方程
1、函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点。
(2)几个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点
注:①函数的零点不是函数与轴的交点,而是与轴的交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数。
②并非任意函数都有零点,只有有根的函数才有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是的根
注:在上面的条件下,(a,b)内的零点至少有一个c,还可能有其他根,个数不确定。
2、二次函数的图象与零点的关系
3、二分法
(1)二分法的定义
对于在区间[a,b]上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤
第一步,确定区间[a,b],验证,给定精确度;
第二步,求区间(a,b)的中点;
第三步,计算:
①若=0,则就是函数的零点;
②若,则令(此时零点);
③若,则令(此时零点);
第四步,判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值(或);否则重复第二、三、四步。
二、函数模型及其应用
1、几类函数模型及其增长差异
(1)几类函数模型
函数模型 函数解析式 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 (2)三种增长型函数之间增长速度的比较
①指数函数与幂函数
在区间上,无论比大多少,尽管在的一定范围内会小于,但由于的增长快于的增长,因而总存在一个,当时,有。
②对数函数与幂函数()
对数函数的增长速度,不论与值的大小如何总会慢于的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数,使时有。
由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在上,总会存在一个,使时有
2、解函数应用问题的步骤(四步八字)
(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;
(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。
以上过程用图表示如下:
3、解函数应用问题常见的错误:
(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面;
(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件。
【热点、难点精析】
(一)函数与方程
1、零点的判定
○相关链接○
(1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断。
(2)用定理:零点存在性定理。
注:如果函数在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且是函数在这个区间上的一个零点,但不一定成立。
(3)利用图象的交点:有些题目可先画出某两个函数,图象,其交点的横坐标是的零点。
○例题解析○
〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。
f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];
f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3]
分析:第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来求解。
解答:(1)方法一:
∵f(1)=12-3×1-18=-200,
f(8)=82-3×8-18=220,
∴f(1)·f(8)0,
故f(x)=x2-3x-18, x∈[1,8]存在零点
方
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