特征值和特征向量...docVIP

第五章 特征值和特征向量 大纲要求 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似变换、相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 考试要求 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。 理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。 掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。 一．问题的提出 在解决工程技术问题中经常需要计算方阵的幂.当m很大时，直接计算的计算量很大，为了简化计算，可找一个可逆矩阵P使 则 而 为了找到上述的矩阵P，令 则即 于是 则 我们称为方阵的特征值，称为的属于的特征向量.如果能找到可逆矩阵P使，则称方阵可对角化.所以的可对角化问题就转化为是否可以找到n个线性无关的特征向量的问题. 二．特征值和特征向量定义，求法和性质 1.定义 若非零向量X满足，则称X是属于特征值的特征向量. 2.求法 满足 齐次组有非零解 (1) 解,求A的特征值 (2) 解齐次组，求其全部非零解. 3.特征多项式 是的全部阶主子式之和. (1) 的迹 (2) (3) 当时， 于是 ， 的特征值为 ， 4.性质 若是的属于的特征向量，则 也是，,，，, 属于，，，，， 的特征向量，其中是的多项式. (2) 若和都是的属于的特征向量，则当时，也是的属于的特征向量. (3) 若，则为的一个特征值，且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量. (4) 若，则的全部特征值为零. (5) 和具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量. (6) 设分别属于的特征向量.若则不是的特征向量. [证] 用反证法，若是 的特征向量，它所对应的特征值，则 由题设， 以上两式相减得 ，由于与线性无关，故有 ，这与假设矛盾！ 三．相似矩阵及其性质 定义 若存在可逆矩阵使 则称方阵与相似，记作 定理 相似关系具有反身性，对称性，传递性. 性质 如果，则有 (1) (2)（若、均可逆） (3) (4) (5)，从而、有相同的特征值.（但时，、不一定相似）（注意：与不一定可以对角化） (6) 从而、同时可逆或同时不可逆. (7) 四、矩阵可相似对角化的充要条件 定理1 阶方阵有个线性无关的特征向量. 定理2 方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关.（可用数学归纳法证明） 推论 若阶方阵有个互不相等的特征值，则. 定理3 设阶方阵有个互不相等的特征值，的属于的线性无关特征向量为 , 则 ,线性无关. [证] 设 令，,则 若某个，则由上式至少有一个 . 不妨设上式非零向量为 ， 则它们分别是对应的特征向量，于是有 . 这说明线性相关，与 各不相等矛盾！故所有的 即，由线性 无关，知 故结论成立. 定理4 若是方阵的重特征值，则的属于的线性无关的特征向量的个数.或者说的几何重数的代数重数. 定理5 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于特征值的重数. 或的每个特征的几 何重数的代数重数. 注意 任意的方阵不一定都可相似对角化， 例 判断矩阵是否可相 似对角化. [解] 由 对特征值，解齐次组求特征向量. 对，系数矩阵 故，对应的线性无关的特征向量个数为. 对，系数矩阵 故，对应的线性无关的特征向量的个数. 是2重特征根，却只有一个线性无关的特征向量，故不可能相似对角化，或者说是3阶方阵，却只有2个线性无关的特征向量，故不可能相似对角化. 五．矩阵相似对角化的步骤 设方阵可相似对角化，即可逆矩阵使. (1) 解得特征值. (2) 解齐次组得相应的线性无关的特征向量 (3) 得和对角阵 六．实对称矩阵的相似对角化 1.性质 设为实对称矩阵，则 (1)的特征值为实数. (2)的不同特征值对应的特征向量必正交. (3)的每个特征值的重数和这个特征值对应的线性无关的特征向量的个数相同. (4)必能相似对角化，且存在正交矩阵 使. 2.对实对称阵，求正交矩阵使 的步骤 (1)解得特征值； (2) 解齐次组得相应的线性无关的特征向量； (3) 对特征值重根对应的特征向量进行正交规范化.对特征值单根对应的特征向量进行规范化，得； (4) 得正交阵和对角阵 典型题 一判定矩阵是否可以对角化 5.1 设是阶实对阶矩阵，是阶可逆矩阵.已知维列向量是的属于特 征值的特征向量，则矩阵属 于特征值的特征