角平分线的性质案例讲述.ppt

4.角平分线（1） 性质定理与逆定理 角平分线 几何的三种语言 进步的标志 逆定理 尺规作图 挑战自我 梦想成真 回味无穷 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 用尺规作角的平分线. 邻补角的角平分线之间的关系. 如 知识的升华 习题1.8 习题1.8 习题1.8 结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人. 证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则. * * 初二数学 阳泉市义井中学 高铁牛 驶向胜利的彼岸 你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 回顾 思考 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它满足公理(AAS). 故结论可证. 老师期望:你能写出规范的证明过程. 分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在的△OPD≌△OPB， 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利的彼岸 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 开启 智慧 如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). O C B 1 A 2 P D E ′ 驶向胜利的彼岸 思考分析 你能写出“定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明∠1=∠2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程. O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利的彼岸 我能行 1 逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. 如图, ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上). 老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. 从这个结果出发,你还能联想到什么? O C B 1 A 2 P D E 驶向胜利的彼岸 做一做 1 已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法: 用尺规作角的平分线. 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. 3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握. A B O C 则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 随堂练习 1 驶向胜利的彼岸 如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系? 老师期望: 你能说出结论并能证明它. E D A B C F 随堂练习 2 2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000). A区 小结 拓展 O C B 1 A 2 P D E 独立 作业 P9习题1.8 1,2,3题. 祝你成功！ 独立作业 1 驶向胜利的彼岸 1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 老师期望: 先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图. 你发现了什么？ 独立作业 2 驶向胜利的彼岸 2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等. 老师期望: 养成用数学解释生活的习惯. C● D● A B O 独立作业 3 驶向胜利的彼岸 3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,