解析几何,吕林根,课后习题解答一到五讲述.doc

第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心， 在矢量、、 、、、 、、、、 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]： 图1-1 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]： . 4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解： §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量应满足什么条件？ （1） （2） （3） （4） （5） 解： §1.3 数量乘矢量 1 试解下列各题． ⑴ 化简． ⑵ 已知，，求，和． ⑶ 从矢量方程组，解出矢量，． 解： 2 已知四边形中，，，对角线、的中点分别为、，求． 解： 3 设，，，证明：、、三点共线． 解： 4 在四边形中，，，，证明为梯形． 解： 6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. 7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明 +=++. 解： 8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明 +++＝4. 解： 9 在平行六面体（参看第一节第4题图）中，证明． 证明： ． 10. 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 解 11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. 解 12. 设点O是平面上正多边形A1A2…An的中心，证明: ++…+＝. 解 , 13．在12题的条件下，设P是任意点，证明 证明： §1.4 矢量的线性关系与矢量的分解 1．在平行四边形ABCD中， （1）设对角线求 解 （2）设边BC和CD的中点M和N，且求。 2．在平行六面体ABCD-EFGH中，设三个 面上对角线矢量设为试把矢量写成的线性组合。 解： 3. 设一直线上三点A, B, P满足＝((((－1),O是空间任意一点，求证： ＝ 解： 4. 在中,设. 设是边三等分点,将矢量分解为的线性组合; （2）设是角的平分线(它与交于点),将分解为的线性组合 解： 5．在四面体中，设点是的重心（三中线之交点），求矢量对于矢量 的分解式。 解 6．用矢量法证明以下各题 （1）三角形三中线共点 证明： 7．已知矢量不共线，问与是否线性相关？ 解： 8. 证明三个矢量＝－+3+2, ＝4－6+2，＝－3+12＋11共面，其中能否用,线性表示？如能表示，写出线性表示关系式. [证明]： 9．证明三个矢量共面。 证明： §1.5 标架与坐标 3. 在空间直角坐标系{O;}下，求P(2,－3,－1)，M(a, b, c)关于 (1) 坐标平面；(2) 坐标轴；(3) 坐标原点的各个对称点的坐标. [解]： 8. 已知矢量, , 的分量如下： (1) ＝{0, －1, 2}，＝{0, 2, －4}，＝{1, 2, －1}； (2) ＝{1, 2, 3}，＝{2, －1, 0}，＝{0, 5, 6}. 试判别它