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II、分析部分 第二章 线性多变量系统的运动分析 在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，即线性状态方程的求解。对于线性定常系统，为保证状态方程解的存在性和唯一性，系统矩阵和输入矩阵中各元必须有界。一般来说，在实际工程中，这个条件是一定满足的。 2.1 线性系统状态方程的解 给定线性定常系统非齐次状态方程为 Σ： (2.1） 其中，，且初始条件为。 将方程（2.1）写为 在上式两边左乘，可得 将上式由O积分到t，得 故可求出其解为 (2.2a) 或 (2.2b) 式中为系统的状态转移矩阵。 对于线性时变系统非齐次状态方程， (2.3） 类似可求出其解为 (2.4) 一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。 2.2 状态转移矩阵的性质 定义2.1 时变系统状态转移矩阵是满足如下矩阵微分方程和初始条件 (2.5) 的解。 下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质： 1、； 2、； 3、； 4、当给定后， 唯一； 5、计算时变系统状态转移矩阵的公式 (2.6a) 上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，只有当满足 即在矩阵乘法可交换的条件下，才可表示为如下矩阵指数函数形式 (2.6b) 显然，定常系统的状态转移矩阵不依赖于初始时刻，其性质仅是上述时变系统的特例。 ------------------------------------------------------------------------------ [例2．1] 试求如下线性定常系统 的状态转移矩阵和状态转移矩阵的逆。 [解] 对于该系统， 其状态转移矩阵由下式确定 由于 其逆矩阵为 因此 = 由于，故可求得状态转移矩阵的逆为 ------------------------------------------------------------------------------ [例2.2] 求下列系统的时间响应： 式中，为时作用于系统的单位阶跃函数，即。 [解] 对该系统 状态转移矩阵已在例2.1中求得，即 因此，系统对单位阶跃输入的响应为： 或 如果初始状态为零，即,可将简化为 ------------------------------------------------------------------------------ 2.3 向量矩阵分析中的若干结果 本节将补充介绍在2.4节中将用到的有关矩阵分析中一些结果，即着重讨论Caley-Hamilton定理和最小多项式。 2.3.1凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。 考虑维矩阵及其特征方程 凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即 (2.7) 为了证明此定理，注意到的伴随矩阵是的次多项式，即 式中，。由于 可得 从上式可看出， 和(i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果及其伴随矩阵中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用代替λ，显然为零。这样 即证明了凯莱-哈密尔顿定理。 2.3.2 最小多项式 按照凯莱-哈密尔顿定理，任一维矩阵满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义维矩阵的最小多项式为最小阶次的多项式，即 使得，或者 最小多项式在维矩阵多项式的计算中起着重要作用。 假设λ的多项式是的伴随矩阵的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式由下式给出： (2.8) 注意，维矩阵的最小多项式可按下列步骤求出： 1、根据伴随矩阵，写出作为λ的因式分解多项式的的各元素； 2、确定作为伴随矩阵各元素的最高公约式。选取的λ最高阶次系数为1。如果不存在公约式，则； 3、最小多项式可由除以得到。 2.4 矩阵指数函数的计算 前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数。如果给定矩阵中所有元素的值，MATLAB将提供一种计算的简便方法，其中T为