计数型因变量讲述.pptx

计数型因变量 徐睿，孙舟，崔跃 中国人民大学统计学院 教材：孟生旺，《回归模型》，中国人民大学出版社，2015 ( 2 ) 主要内容 泊松回归模型 负二项回归模型 模型扩展 计数型变量：取值为非负整数的变量。 如保单的索赔次数、家庭的孩子数、旅游景点的访问人数等。 指数分布族中的计数型分布主要包括： 泊松分布——泊松回归模型 负二项分布——负二项回归模型 ( 3 ) ( 4 ) 4.1 泊松回归模型 泊松回归模型是假设因变量服从泊松分布的广义线性模型，一般形式为： 其中， 是泊松分布的均值， 是连接函数。 4.1.1 泊松分布 ( 5 ) 如果随机变量 Y 服从参数为 的泊松分布，则其概率密度函数可以表示为： 泊松分布的参数越大，分布形态越接近对称分布。因此当参数很大时，可用正态分布近似计算泊松分布的概率。 ( 6 ) ( 7 ) 注：图中曲线为 正态分布密度函数 4.1.2 模型设定 指数分布族的密度函数： 泊松分布的概率函数： 有 ( 8 ) 在广义线性模型中，正则连接函数是使得 成 立的函数 。 泊松分布假设下 ，所以对应的正则连接函数就是对数连接函数，即 。 泊松回归模型的对数似然函数： 当 y 取值为 0 时，对数似然函数简化为 ( 9 ) 残差偏差为： 当 y 为 0 时，泊松回归模型的偏差简化为 泊松回归模型的Pearson 统计量： ( 10 ) 4.1.3 迭代加权最小二乘估计 建立泊松回归模型时，通常使用对数连接函数，即 ，故 。方差函数为 ，得到 ( 11 ) ( 12 ) 4.1.4 抵消项 在广义线性模型中，如果某个解释变量的回归系数是已知的，就可以将其设定为抵消项(offset)，即广义线性模型的线性预测项可以表示为 使用对数连接函数时，均值预测值为 ( 13 ) 例：在汽车保险中，索赔频率等于索赔次数 与车年数 之比。 使用对数连接函数，索赔频率模型可以表示为 其中， 表示第 i 个风险类别的期望索赔次数； 是期望索赔频率。 上式经过变换，得到 其中， 就是抵消项。虽然因变量不同，但参数估计值 完全相同。 在有抵消项的情况下， 在索赔次数模型中引入抵消项，等价于用车年数加权。 ( 14 ) 4.1.5 模型参数的解释 假设泊松回归模型包含 ， 两个解释变量以及截距项 ， 的系数 的含义是什么？ 在正则连接函数下， 事件发生率之比(Incidence-rate ratio) 在对数连接函数下，为在 下事件发生的频率与在 下的频率之比，即 ( 15 ) 4.1.6 模拟分析 假设因变量 y 服从负二项分布，受4个解释变量的影响， 和 是连续型解释变量， 是分类解释变量。因变量均值等于风险单位数 与平均索赔频率的乘积： 模拟的因变量服从均值为 ，方差为 的负二项分布。 ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) 补充：分位残差（P79） 如果因变量 是连续变量，分位残差定义为： 如果因变量 是离散变量，由于分位残差是随机的，故称为随机化分位残差，定义为： 其中 分位残差和随机化分位残差在分布F假设正确时，都服从标准正态分布。 ( 19 ) 4.2 负二项回归模型 负二项回归模型假设因变量服从负二项分布。 泊松分布：方差=均值= 负二项分布：方差= 均值= 当因变量的观察值呈现出方差大于均值的过离散特征时，可以考虑使用负二项分布。 负二项 I 型分布（使用较为广泛）和负二项 II 型分布，通常所说的负二项分布即负二项 I 型分布。 ( 20 ) 4.2.1 负二项 I 型分布 本书中所说的负二项分布指负二项 I 型分布，在gamlss程序包中为NBI。 最常见的概率函数及参数形式之一如下： 表示为指数分布族形式： 知 ( 21 ) 负二项分布的均值为： 方差函数为： 离散参数为 1，故上式即为方差。 广义线性模型主要是针对均值参数建立回归模型，故将 作为负二项分布的参数之一，令 ，则均值和方差分别为 和 。 ( 22 ) 负二项回归模型的一般形式表示为： 假设参数 对所有的观察个体是相同的。 在负二项分布假设下，正则连接函数为 概率函数为 ( 23 )