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计算方法第五章第二节最佳平方逼近讲述
作业 1. 复习最佳平方逼近及相关性质证明 2. 作业本: page 219: 10 * 最 佳 逼 近 第 五 章 §2. 最佳平方逼近 定义5.2.1 一、 内积空间 定义5.2.2 性质5.2.1 （Cauchy－Schwarz不等式） 定义5.2.3 定义5.2.4 不难算出 定义5.2.5 性质5.2.2 性质5.2.3 性质5.2.4 (勾股定理） 性质5.2.5 (平行四边形等式） 和一般的线性赋范空间不同，内积空间有更好的几何性质： 二、 函数的最佳平方逼近 上述问题等价于求多元函数 的最小值。 由多元函数取极值的必要条件 得 于是有 上述方程组称为正规方程组。也可以写为 例5.2.1 解 取基函数为 建立正规方程组： 根据内积公式，可得 正规方程组为： 所求拟合函数为： 例5.2.2 解 正规方程组为： 所求拟合函数为： 本题中，当用 n 次多项式拟合时，正规方程组 对应的系数矩阵为 n+1 阶的 Hilbert 矩阵。因 而当 n较大时，系数矩阵是高度病态的，求方 程组的解，舍入误差很大，这时要用正交多项 式做基函数，才能求得最小平方逼近多项式。 三、 正交多项式 从而，不需解方程组即可得到解 定义5.2.6 （一） 正交多项式的性质 性质5.2.6 性质5.2.7 性质5.2.8 其中 而 推论 其中 而 （二） 几种常用的正交多项式族 1. Legendre多项式 2. 切比雪夫多项式 3. Laguerre多项式 4. Hermite多项式 （三） 正交多项式在最佳平方逼近中的应用 见书 P181－183两个例题
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