计算方法第一章讲述.ppt

三、浮点数与有效数字 定点数：小数点的位置固定在个位数后。 机器数：计算机中可表示的数。 为了提高精度，机器数通常是用浮点数表示的。 称为基数 称为尾数或数码 称为阶码 其中基数是正整数，一般取为２，但为照顾习惯和书写方便，通常化为十进制数输入或输出。阶码是整数。 一定型号的计算机，尾数的位数t是固定的，称为计算机 的位数；阶码m也有一定的取值范围： 有4位有效数字 有6位有效数字 定义1.2.3 有8位有效数字 只有4位有效数字！ 由于计算机只能表示有限个数，故通常利用某种舍入规则(如四舍五入，截断误差等)，将数进行浮点化。因而势必产生舍入误差。 n+m位有效数字 n-m位有效数字 n位有效数字 如何确定有效数字、绝对误差限、相对误差限？ 说明有效数字位数与小数点的位置无关。只有写成规格化 形式后，小数点后的位数才能反映出其有效位数的多少。 因此，根据上述分析，对有效数字有如下结果： 定理1.2.1 例1.2.3 求下列四舍五入近似值的有效数字位数. 3位 3位 4位 4位 3位 5位 补充 例1.2.4 实际上只有1位！ 试求它们的有效数字位数。 解 k=1, n=2, m=2 例1.2.5 从以上分析可见，四舍五入的近似值的数字都是有效数字 而不是四舍五入得到的近似值的数字不一定是有效数字。 k=3, m=4 n=3 k=4, m=5 n=4 定理1.2.2 证明 下面的结果论述了相对误差与有效数字的关系 补充 即 则有 由定理1.2.1可知， 例1.2.6 解 定理1.2.3 该结论可以参照定理1.2.2的证明，请同学们自证 补充 定理说明:有效数字位数越多相对 误差限就越小，反之亦然。 例1.2.7 解 则根据定理1.2.3，相对误差满足 即应取4位有效数字，近似值的误差不超过0.1%. 四、误差的传播 1、数据误差的传播 由多元函数的Taylor展开公式可得， 的绝对误差为： 相对误差为： 称为 f 的条件数，其绝对值的大小可反映函数值对数据的敏感程度 利用上面的误差估计公式，可以得到两个数的和、差、积、商的误差估计 2、舍入误差的传播 因舍入导致的相对误差限仅与计算机的字长有关，通常 称相对误差限 为计算机的相对精度。 即 在计算机中，数需首先转化为机器数，比如浮点数，在 运算器中参与运算后仍需将运算结果转化成浮点数的形 式进行存储。 * 引 言 第一章 §1.数值计算方法及其主要研究内容 随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具－数值计算方法，已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。 计算数学：常称为数值分析或（数值）计算方法。 主要是研究如何运用计算工具（如计算 器、计算机等）去获得数学问题的数值 解的理论和方法。 当代实践表明：计算方法正在日趋明显地成为数学 与计算机科学的交叉性科学。 对那些在经典数学中，用解析方法在理论上已作出解的存在，但要求出他的解析解又十分困难，甚至是不可能的这类数学问题，数值解法就显得不可缺少，同时又十分有效。 边缘科学：计算物理，计算力学，计算化学， 计算生物学，计算经济学等。 算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及 规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构 成的完整计算步骤称为算法。 运算量(计算量)： 一个算法所需的乘除运算总次数 计算量是衡量一个算法好坏的重要指标! 计算数学的根本任务就是研究算法 研究数值算法的任务主要有： (1) 构造计算机上可