计算方法第四章(逼近法)讲述.ppt

第四章 函数最优逼近法一、最优平方逼近二、最优一致逼近 一、最优平方逼近 例1： 例2：化学反应 分子扩散 对于例2，设逼近函数形为： ， 该函数应该与已知点的某种差距最小。记： 如果取逼近函数形为： 同样，对于例1，由于已知点几乎分布在一直线上，所以，设 拟合函数为 1. 最小二乘拟合 通常情况下，我们会遇到这样的问题：在研究某种客观现象的时候，需要建立所描述对象的量之间的函数关系式。 此时，我们对要研究的函数进行一系列观测，得到若干组观测值，然后利用这些观测值构造函数表达式。 显然，由于观测误差等原因，构造出的函数不可能严格过这些观测值的点。对此，我们要求构造出的函数在观测点上的值与观测值差的平方和达到最小。这称为最小二乘拟合。 线性最小二乘问题的一般提法： 已知函数列 线性无关，对于一组已 知点（观测值） ，求函数列的一个 组合 ，使之在加权最小二乘的意义下最佳逼 近这些点，即求系数 ，使下面的和取最小： 这里，求和中加了数 ，代表求和的权重。称 为基于函数列的对已知观测点的一个最小二乘逼近。 注意到 S 实际上是关于 的一个函数，欲取最 小值，则 如此得到一组方程，从中即可求出系数 。 引入记号： 则得方程组： 称为正规方程组，从中即可求出系数。 类似，可以得到多元函数的线性最小二乘拟合：设多 元函数列 线 性无关，一组测量数据为 求拟合函数 使 最小。 则拟合系数 同样满足上页蓝色的方程。只不过 例3：观测得到某函数一组数据，求其近似表达式： 设拟合函数为 ，引入变换 ，拟合函数 为 ，数据变为： 得正规方程组： 最后结果如图 最小二乘拟合多项式： 设有变量 x 和 y 的一组数据： 对多项式 ，选择适当系数 后，使 达到最小的多项式, 称为数据的最小二乘(平方)拟合 多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式. 显然，S 达到最小值，则 记： 得正规方程组(法方程)： 2. 内积 定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两 个向量 u，v，定义( u , v )，如果满足下面条件： 则称( u , v )为空间X上的一个内积。 例：n维空间中的两个向量 定义： 证明：这是内积。 例：设 {?i } 是一组正实数，定义： 证明：这也是内积。 例：区间[a , b]上的所有连续函数全体构成一个线性空间C[a , b], 在这个空间上定义： 证明：这是一个内积。 定理：设( u , v )为空间X上的一个内积，对于空间中 的一组向量 ，它们线性无关的充 分必要条件是下面的所谓Gram（克拉姆）矩阵非奇 异。 定义：设 ( u , v )为空间X上的一个内积，对于 X 中的任意两 个向量u，v，如果 ( u , v ) ＝ 0，则称 u 与 v 正交。记为： u ? v 。 例：3维空间中，证明下面向量两两正交 例：区间[ -1, 1]上的所有连续函数全体构成一个线性空间 C[-1 , 1]，证明任意一个奇函数与偶函数正交。 例： C[-? , ? ]中，证明下面函数两两正交： 1, cosx , sinx , cos2x , sin2x 正交多项式 定义：满足 的函数系称为正交函数系，