计算方法第3章线性代数计算方法讲述.ppt

第3章 线性代数计算方法 在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。 例如: 电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题， 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等 §1 高斯消去法 例如：用高斯消去法求解下列方程组(用四位有效数字计算): 化简可得 x2=0.6000 回代求得 x1=105(0.6-0.6000)=0 而方程组的解应为 x1=0.4000 x2=0.6000 显然用上述方法求出的解x1与方程组的实际解相差很大。若改变两个方程的顺序,即 x1+x2=1 ① 10-5 x1+x2=0.6 ② ②-①×10-5得 (1.000-1.000×10-5)x2=0.6-1.000×10-5 0.99999x2=0.59999 化简得 x2=0.6000 回代求得 x1=(1-0.6000)=0.4000 高斯主元素消去法是顺序消去法的一种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数，按顺序消去法的步骤消元。 这里主要介绍求解线性方程组最常用的列主元素消去法和全主元素消去法。 列主元消去法 所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对线性方程组进行n-1次消元后，可得到上三角形方程组 取四位有效数字计算。 解 ②中-18为主元,交换②和①得 ②+①×12/18,③+①×1/18得 ③+②×1/1167得 全主元消去法 所谓全主元素消去法，就是每步消元时选取系数子矩阵中绝对值最大的元素作主元。经过n-1次消元后,方程组可化为上三角形方程组 例2 用全主元素消去法求解方程组 再全选主元，主元为2.333，交换x2和x3所在的两列，同时改变两未知数的排列号得： 已经化为三角方程组，回代求解： x1=1.000，x2=3.000，x3=2.000 这里未知数x2与x3已对调，所以应恢复解的顺序，方程组的实际精确解为： x1=1.000，x2=2.000，x3=3.000 §2 高斯―约当消去法 前面所述的消去法均要进行两个过程，即消元过程和回代过程。但对消元过程稍加改变可以把方程组化为对角形： 此时求解就不要回代了。这种无回代过程的主元素消去法称为 高斯―约当(Jordan)消去法。 特别是方程组还可化为 显然等号右端即为方程组的解。 对于n阶线性方程组，其增广矩阵为 显见经n步消元后即得方程组的解。 其具体计算步骤为: 对 k = 1,2,…,n ①选主元(列选或全选主元) ②对 j= k,k+1,…,n+1计算 ③ ④ 计算 还得指出,若用到全选主元,最后应注意恢复解的顺序。 §4 矩阵的三角分解 ? 例：用杜利特尔分解方法求解下列方程组的解: 计算L的各列与U的各行的次序如下图所示 ： 用克劳特分解方法求解下列方程组 利用矩阵乘法可得到 这样原方程组就化为依次求下列两个三角形方程组 这样,L、U中的元素都已求出。计算L的各列与U的各行的次序如图3.4所示 。 用克劳特分解求解线性方程组的计算过程为: （1） LU分解过程:对于k=1,2,…,n依次计算 §6 迭代法 例8 用简单迭代法解下列方程组 取初始值x(0)= 0