用MATLAB求元泰勒展开式.docVIP

用MATLAB求二元泰勒展开式 1级数求和 命令 S=symsum(u,t,a,b) 的功能是计算级数和S=。其中u是包含符号变量t的表达式，是待求和级数的通项。当u的表达式中只含一个变量时，参数t可省略。 例9.11.1判断下列级数是否收敛，如收敛则求其和： ，， 解 创建符号变量n和x,用symsum命令计算各级数的和： syms n x ↙ symsum(1/n,1,inf) ↙ ans= inf 知级数发散至无穷大。 symsum(1/n^2,1,inf) ↙ ans= 1/6*pi^2 知级数收敛，且其和为 对级数，由于其通项中包含两个变量x和n，故使用symsum命令时须指定求和变量是n： un=x^2/(1+x^2)^n; ↙ symsun(un,n,0,inf) ↙ ans= 1+x^2 得和函数为1+x^2 对有些级数，symsum命令不能求得其和，从而也无法得知其敛散性。此时，可使用MATLAB的数值计算功能进行处理。 例9.11.2试求级数的和 解 用symsum命令求解： syms n ↙ symsum(log(1+1/n^2),1,inf) ↙ ans= sum(log(1+1/n^2),n=1..inf) 此结果表示symsum命令不能求得其和。我们转而采用数值方法计算部分和。将下面的程序存入一个m文件中： clear all n=9000; %部分和的项数 Sn=0; for k=1:n Sn= Sn+log(1+1/k^2); end fprintf(‘Sn=%f,(n=%d)’, Sn,n) 执行该程序，显示结果为 Sn=1.301735，（n=9000） 再对程序中的变量n分别赋值n=9000 ，n=900000 ，n=9000000并执行程序，得计算结果为： Sn=1.301835，（n=9000 ） Sn=1.301845，（n=900000） Sn=1.301846，（n=9000000） 由此看出，随着n增大，Sn趋于1.30185。故知该级数收敛，且其和约为1.30185 2．泰勒级数展开 泰勒级数展开命令是taylor,其调用格式为 r=taylor(f,n,x,a). 该命令的功能是将符号函数f展开成（x-a）的n-1阶泰勒多项式。其中x是待展开的符号变量，其缺省值为最接近x的字母。n的缺省值为n=6,a的缺省值为a=0。 例9.11.3将分别展开为x和x-1的幂级数。 解 首先创建符号变量x及函数f： syms x ↙ f=x/sqrt(1+x^2); ↙ 计算关于x展式的前8项： taylor(f,8) ans= x-1/2*x^3+3/8*x^5-5/16*x^7 计算关于x-1展式的前3项： taylor(f,3,x,1) ↙ ans= 1/2*2^(1/2)+1/4*2^(1/2)*(x-1)-16/3*2^(1/2)*(x-1)/2 即。 3．傅里叶级数展开 到目前为止，MATLAB中还没有专门计算傅里叶展开式的命令。但根据尤拉-傅里叶公式,用int命令很容易算出傅里叶级??的系数： syms n x a0=int(f,-pi,pi)/pi an= int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi 其中f为含符号变量x的待展开函数。 类似可得，对周期为2l的函数，计算其傅里叶系数的命令为 a0=int(f,-l,l)/l an= int(f*cos(n*pi*x/l),-l,l)/l bn=int(f*sin(n*pi*x/l),-l,l)/l. 例9.11.4 用MATLAB求的傅里叶展开式。 解 syms k n x ↙ a0=int(k,x,0,2) ↙ a0= k an=int(k*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2 ↙ an= sin(n*pi)*k/n/pi bn= int(k*sin (n*pi*x/2),x,0,2)/2 ↙ bn= -k*(cos(n*pi)-1)/n/pi 注意MATLAB不能把sin（n*pi）化为0，也不能把cos（n*pi）化为(-1) 例9.11.5本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的过程。取例9.11.4中所得傅里叶级数的前m项作和，记为这是m个正弦波的合成波。执行下面程序可观察到，随着m逐渐增大，的波形逐渐逼近f(x)（周期性延拓后）的波形，图1与图2分别是该程序执行中当m=3和m=6时的快照 m = 40; k = 1; syms x hold on Sm