计算科学导论讲述.ppt

敏感性病态性 输入数据会有误差 敏感性：反映误差的传播性质 例 条件数 把敏感性量化度量，得到条件数 相对条件数： 绝对条件数 相对条件数的定义中，如果x或f(x)为零，则采用绝对条件数的定义|Δy|/|Δx| 稳定性 算法的稳定性 精确度 结果的精确度 1.3 计算机运算 科学计算关心的误差是截断误差和舍入误差 舍入误差主要是由计算工具产生的 计算工具会产生什么误差？如何减少舍入误差？ 为了了解计算机的舍入误差，需要了解计算机内部的数据表示方法，最常用的是浮点数 浮点数 实数在计算机是用浮点数表示的 类似与科学计数法 浮点数 人们熟知的是十进制。计算机内是二进制浮点数。为了计数方便还有八进制、十六进制 浮点数的几部分及特点 浮点数 表1.1是几种典型浮点数系统的4个关键数 规格化 如果不规格化，一个数有多种表示 规格化的数 D0≠0； 对于二进制， D0＝1 浮点数性质 只能表示有限个数 有最小正数。对于规格化的浮点数，这个数是多少？为什么称为下溢限？ 有最大正数。对于规格化的浮点数，这个数是多少？为什么称为上溢限？ 表示的有限个数在数轴上怎么分布的？均匀？ 例1.9 舍入 计算机能够精确表示的那些有限个数称为机器数。 x?fl(x)。任意一个实数x不一定等于一个机器数。在计算机里用“最接近”的机器数fl(x)表示 由x到近似机器数fl(x)的转换，称为舍入。其误差称为舍入误差 舍入方法 常用两种 例1.10 机器精度，机器ε，机器舍入误差 虽然由于舍入方法的不同，机器数略有不同，基本含义是对机器数颗粒性的度量 次规格化 逐渐下溢 特殊数值 1.3 计算机运算 前面是浮点数的有限性、粒度性。下面是浮点数的运算性质。与我们熟悉的精确算术运算也是不同的 例1.12 为什么与我们熟悉的精确算术运算不同？ 除了舍入，还可能溢出，上溢或下溢（超出指数表示范围） 计算机运算 用op表示正常的算术运算，用flop表示浮点数的算术运算。这两种运算有一些细微差别 一些运算规则不再有，如结合律。第23页 产生的绝对误差不确定，但是相对误差界为机器ε。 加减 先对齐，极端情况“大数吃掉小数” 例1.11 乘法 两个p位数相乘得到2p位数，结果必须舍入 除法 也可能舍入，如1/10 例12 级数是+∞，用计算机计算的序列会趋于无穷大？ 实际上，在“和溢出之前”，1/N机器ε， “和不再增加” 误差分析例 例1.13 第24页 抵消 因为是有限精度，所以浮点运算会有舍入误差。同时，如果算法设计不当，会把计算工具的缺点放大。注意避免一些特殊的运算，如大数除以一个很小的数，或者两个相近的数相减。 两个相近的数相减会产生什么问题？有效数字严重减少。舍入时损失的是后面的有效数字，两个相近的数相减会抵消掉前面的有效数字 例 一些例子说明有效数字抵消的产生与避免 当x0，计算结果震荡，抵消 例1.14 计算两地距离 计算氦原子总能量，方法：＝动能-势能 例15 例1.15 计算一元二次方程的根 直接用公式计算容易出现问题，应该预防 如，把方程的最大系数变为1 如，避免抵消 如果ac≈0 例16 例1.16 标准差 第二个公式会产生更严重的问题：抵消 标准差定义 等价的第二计算公式 如果用第二计算公式来计算，可能抵消问题严重 例17 例1.17 剩余量计算 直接用原来的精度（解方程的精度）计算剩余量会产生严重误差，所以计算剩余量要用更高精度 作业 Exercises: 1.2，1.6，1.20，1.22 实验 实验：第6周开始周六，具体时间地点待定 准备：U盘，2G，保存实验程序。计算机上已有：MATLAB。U盘上尽量也有MATLAB安装程序。 科学计算导论 1.1 介绍 学科名称：数值分析(numerical analysis 第1页)、数值计算、计算方法、科学计算(scientific computing 第1页) 连续数学问题中的数值 连续问题，非离散 一些问题在理论上也没有有限步算法 一些问题迭代法比直接计算法更好 限制 不仅要考虑目标，还要考虑方法、细节、条件、误差、效率、代价、稳定…… 特点—与数学的关系 纯数学 常见问题是是否存在，表达式是什么，对于如何计算，计算是否容易则很少涉及。 计算方法 解决数学问题，是数学一个分支，最接近应用的数学 应用中需要具体的“数值”，科学计算需要给出的是一个确定的计算机算法，描述了输入和输出（都是有限维数据）之间的关系。并且对得到数值的计算方法要分析（理论、误差、算法复杂性可靠性等）数值问题 例 用每秒运算 30 亿次（主频3.0G）的计算机求解时，大约需要10000年的时间 当 n=20 时， 如果使用高斯消去法，不到一秒钟就能完成 例：求解一