7_1关于实数集完备性的基本定理课案.ppt

在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理并给出了柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.;一、区间套定理与柯西收敛定理;定义1;定理7.1(区间套定理);从而由定义1 的条件2 可得;证 由区间套定理的证明可得:;注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.;但是定理1中的? 是不存在的, 这是因为;作为区间套定理的应用, 下面来证明柯西收敛准;由定理1的;定义2 设 S 为数轴上的非空点集, ? 为直线上的;为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义.;定义2 ? 定义2? 由定义直接得到.;互异,并且;我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必;再将[a2, b2]等分为两个子区间. 同样至少有???个子;(iii) 每个闭区间[an, bn] 均含S 的无限多个点.;所以由所建立的性质(iii);证 设{xn}为有界数列, 若{xn} 中有无限项相等, 取;证;例2 用致密性定理证明柯西收敛准则. ;.下面证明 {an} 以 A为极限.;定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间;定理7.3 (海涅－博雷尔有限覆盖定理);若定理不成立, 也就是说 [a, b]不能被 H 中任何;(iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个;这就是说, [aN , bN] 被 H 中的一个开区间所覆盖,;区间 (0, 1). 很明显, H 中的任何有限个开区间均不 ;我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它; 柯西收敛准则 ;例3 用有限覆盖定理证明聚点定理.;很明显, H 覆盖了闭区间 [ – M, M]. 根据有限覆盖