2012年全国高中数学联赛组合数学冲刺试题.doc

2014全国高中数学联赛组合冲刺试题（2014.09.1） 1.（本题满分50分）设为大于1的整数，.证明：存在个不被整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被整除. （2013年全国联赛） 2、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．（2011年全国联赛） 3、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ （2010年全国联赛） 4、（本题满分50分）在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使得 ． 求证： （ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列． （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表 仍然具有性质． 如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。 n，定义函数 （其中[x]表示不超过x的最大整数， 试求：的值. （2005年全国联赛） 7、 （本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中n =q2+q+1，t≥q≥2,q∈N,已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）。 （2003年全国联赛） 8、（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F国教练为了考察A1,A2,…,A7这七名，准备让他们在三场训练比赛(每场90分钟)都上场，假设在比赛的任何时刻，这些中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间(以分钟为单位)均被13整除，如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况。 （2002年全国联赛） 9、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。 （2001年全国联赛） 10、（本题满分50分）有n个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n(2个人之间通电话的总次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能的值. （2000年全国联赛） 2014全国高中数学联赛组合冲刺试题参考答 2. 3. 解：对于种密码锁的设置，如果相邻两个顶点上所的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点上的设置．为了使得最终回到时的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a的边有条，，标有b的边有条，．选取条边标记a的有种方法，在余下的边中取出条边标记b的有种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有设置方法数为 ． ①这里我们约定． 当n为奇数时，，此时 ． ② 代入①式中，得 ． 当n为偶数时，若，则②式仍然成立；若，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，设置的方法数为 ． 综上所述，这密码锁的所有设置方法数是：当n为奇数时有种；当n为偶数时有种． （ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中