直线上点与直线外两点距离之和最小问题(教案).docVIP

德强学校课堂教案设计 任课教师 石波 任课班级 初一（3）、（4）班 序号课题19.2.2直线上一点与直线同 侧两点距离和的最小问题授课时间2012年 9月 日教 学 目 标知识与技能加深学生对轴对称性质的理解，使他们学会利用这些性质去解决有关问题．过程与方法通过实验、操作、对比、观察等手段探索出进行轴对称变换的一般方法情感态度 与价值观通过对范例的分析、讲解，培养和训练学生解决问题的正确思想方法，达到启迪智慧，提高能力的目的．教 学 重 点理解实际问题应用的理论依据，建立相应的数学模型教 学 难 点难点是实际问题的应用.教 学 手 段多媒体课件学习方式引导发现法 教 学 过 程教学内容与教师活动设计学生活动设计设计意图创设情境 复习导入 师：轴对称图形的概念的内容是什么？ 师：轴对称图形具有什么性质？ 师：轴对称图形的判定方法？ 合作交流 解读探究 师：今天，我们要应用上述性质来解决一个实际问题． 例1. [探究]如图l9—2—8所示，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵 站修在管道的什么地方，可使所用的输气管最短? 师：同学们若仔细考虑一下，不难发现，例1实质上是一个求最短路线的实际问题，如果用数学语言叙述就是：已知直线a的同侧有A、B两点，现欲在a上作出一点C，使AC＋CB为最小． 师：对同学们来说，这是一个陌生的问题，可能会感到无从下手．现在，我们不妨这样来思考： (教师取出在透明纸上事先画好的图2．) 师：若A、B是直线a两侧的已知点，现要在a上作出一点C，使AC＋CB为最小，怎么办呢？请同学们在白纸上作出点C． 师：对，很好。若将纸片的下半部分沿直线a向上旋转一个角度，此时A、B两点不在同一个平面上了，如图3所示．试在直线a上求一点C，使AC＋CB为最小．譬如大家可设想有一小虫，在纸面上要从A点爬到B点，问它沿怎样路线爬才最近？ 师：若将图3中直线a下方的半个纸面继续沿直线a旋转，直至与上半面叠合(教师边讲边演示)，这时A、B即处于直线a的同侧了(图4)． 大家很容易看出图4实际上是图3的另一种特殊情况．显然，其解可用一般方法来求得．即：将含有点A的半个面，沿直线a旋转，使其变为图2的情形，再求解．用数学语言可描述如下：作点A关于直线a的对称点A＇，连结A＇B，设其交直线a于点C，则C点即为所求的点． 师：请同学们作出点C并具体地写出作法． 师：由轴对称的性质1可以知道，对称轴是对应点连线的垂直平分线，即相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而，当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个点可以用它的对称点来“代换”．如本例，当用点A来考虑问题感到困难时，便可用点A的轴对称点A＇来“代换”．由于“代换”后，点A＇和点A到轴上任一点的距离都相等，故AC=A＇C，因而原问题中对AC＋CB最小的要求，可变换成对A＇C＋CB最小的要求．由于A＇和B此时已处于a的两侧，因而变换后的新问题成了一个显而易见的问题，这就最终达到了我们解决原问题的目的． 下面，大家利用轴对称的这条性质来证明我们作出的点C确是符合要求的． 小结：对称轴是对应点连线的垂直平分线，即 相互对称的点到轴上任一点的距离相等．因而， 当考虑某一点和轴上的点之间的距离时，这个 点可以用它的对称点来“代换”．这种“代换” 称为“对称变换”.利用这种“变换”我们常常 可以将原问题变得更加简单和直观. 例2. （1）如图，正方形ＡＢＣＤ的对称 轴是直线ＢＤ，点Ｅ是边ＤＣ上任意一点，试 在直线ＢD上确定一点P，使PE＋ＰＣ最小. （2）如图（1），射线ＯＣ平分∠ＡＯＢ，点Ｍ、点Ｎ是射线ＯＡ上的点，试在射线ＯＣ上确定一点P，使PＭ＋ＰＮ最小. 例3.如图，Ox、Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部，有一油库A，现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问两加油站应如何选址? 【分析】本题通过作A关于0x、Oy的对称点，将AB、AC分别转化为A1B、A2C，再根据两点之间的距离最短，从而使问题得到解决． 解：取A关于OX、OY的对称点A1、A2，连接A1A2，交0X、Oy于B、C两点，则B、C两点就是加油站的位置． 证明：设M、N分别为OX、OY上除B、C以外的任意两点，连接A1M、MN、NA2、AB、AC、AM、AN．因为A、A1关于OX对称，所以A1B=AB；A、 A2关于0y对称，所以AC=A2C，所以AB+BC+CA=A1B+BC+CA2=A1A2又A1M=AM，AN=A2N，AM+MN+AN=A1M+ MN+ N